Рубрика: Теория множеств

Множества счётные и несчётные

Фундаментальным понятием в математике является счётное множество. Понятие это не так уж и сложно само по себе, но знакомство с ним обычно вызывает сложности у вчерашних школьников.Существует, однако, вполне корректное, но гораздо более популярное определение счётности, легко доступное для понимания. Вот как оно выглядит.

Бесконечность: от Галилея до…

Бесконечные множества обладают рядом совершенно мозголомных свойств, которые вытекают из совершенно очевидных, казалось бы, представлений. Ярчайшим примером является аксиома выбора, но и без неё неожиданностей более чем много.

Множество

Особенность любой формальной науки, и математики в том числе, заключается в том, что теория развивается из набора аксиом, принимаемых без доказательства. Аксиомы должны формулироваться в терминах, неизбежно принимаемых за очевидные — и, следовательно, не подлежащих определению.

Парадокс Ришара-Берри

В математике множество является неопределяемым понятием (о чём ещё будет как-нибудь позже). При этом во многих курсах — особенно рассчитанных на общетехнические специальности и гуманитариев — можно встретить оптимистические утверждения вида “хотя мы не можем определить понятие множества, мы можем, опираясь на интуицию, с лёгкостью определять любое конкретное множество его описанием…” Подобные взгляды характерны для […]

Аксиома выбора и вредный Дед Мороз

На рубеже XIX и XX веков в математике случился кризис, связанный с накоплением сверх критической массы интуитивных понятий и необоснованных аналогий. Преодоление этого кризиса связывали с аксиоматизацией науки, начиная с самых низов. А в сáмом низу находилась как раз построенная к тому моменту канторовская теория множеств. Правда, очень быстро выяснилось, что и тут не обходится […]