Триггер и чётность

Есть такой старый школьный анекдот про Вовочку, математически посрамившего пафосную учительницу истории…

Учительница: Дети! Во время войны за наш город шли тяжёлые бои! Город семь раз переходил из рук в руки…

Вовочка: Йа, йа, Марьиванна! Натюрлихь!

Ирония Вовочки вполне понятна: если город переходил из рук в руки семь раз — нечётное число! — то он в конце концов должен был оказаться не в тех руках, в которых был изначально.

Есть такое понятие — триггер. Это нечто, способное находиться в двух и только двух взаимоисключающих состояниях, переходя из одного в другое и наоборот.

Сам того не ведая, Вовочка сформулировал принцип чётности триггера:

Триггер, переключавшийся чётное число раз, оказывается в своём исходном состоянии. Триггер, переключавшийся нечётное число раз, оказывается в состоянии, противоположном исходному.

Посмотрим, как можно применить этот принцип в геометрии. Пусть у нас имеется замкнутая кривая на плоскости и некоторая точка. Например, вот так:

Вопрос: эта точка охвачена этой кривой или нет? Иными словами, лежит ли эта точка в области, ограниченной кривой?

Человек будет строить некоторый путь из точки, прослеживая его взглядом или пальцем. В конце концов путь либо «упрётся в стенку» (точка внутри кривой), либо приведёт куда-то заведомо вне кривой (точка вне её). А вот как описать решение математически?

Оказывается, очень просто! Нужно всего-то провести из точки луч. Практически любой, лишь бы он имел с кривой только простые точки пересечение (то есть чтобы не имел с ней точек касания и чтобы никакой фрагмент кривой не оказывался непрерывной частью луча). Например, вот так:

Двигаясь вдоль этого луча, мы рано или поздно оказываемся вне кривой. При этом каждое пересечение границы означает переключение триггера между двумя взаимоисключающими состояниями: «внутри»/«вне».

На данном рисунке луч пересёк границу пять раз — нечётное число. И вышел из области. Нечётное число пересечений означает изменение начального состояния на противоположное. Таким образом, точка находится внутри кривой.

Фактически, этими рассуждениями мы сейчас доказали любопытную теорему:

Пусть \(\Gamma\) — кривая конечной длины без самопересечений, ограничивающая на плоскости область \(\Omega\) конечной площади, \(A\notin\Gamma\) — произвольная точка плоскости и \(Ay\) — исходящий из неё луч, такой что он имеет с \(\Gamma\) лишь простые точки пересечения. Пусть \(N\) — количество этих точек пересечения. Тогда \(A\in\Omega\) в том и только том случае, когда \(N\) нечётно.