Ванна, краны, температура

А вот любопытная задачка, которая одновременно и по физике, и по математике.

Из горячего крана, вода в котором имеет температуру 70°, ванна заполняется за 30 минут. Из холодного крана с температурой воды 10° та же ванна заполняется за 20 минут. Как быстрее всего наполнить ванну, чтобы температура воды в ней составила 43°? (Потерями тепла в процессе наполнения пренебречь)

Непосредственно из условия следует, что производительность холодного крана в \(1.5\) раза превосходит производительность горячего. Пусть из горячего крана вытекает \(x\) литров в минуту, тогда из холодного крана за ту же минуту вытечет \(1.5x\) литров. Тогда вместимость ванны, как легко посчитать, составляет \(30x\) литров.

Ускорить процесс наполнения можно за счёт совместной работы кранов, при которой из них ежеминутно вытекает \(2.5x\) литров. А какую температуру будет иметь эта общая струя? Будем исходить из закона теплопередачи при нагревании-охлаждении \(Q=mc(T_1-T_0)\), где \(m\) — масса, \(c\) — удельная теплоёмкость, \(T_0\) и \(T_1\) — начальная и конечная температуры.

Допустим, что температура общей струи равна \(T\). За минуту горячая вода, остывая до этой температуры, отдаст холодной \(Q_1=cx(70-T)\) тепла, а холодная, нагреваясь, примет \(Q_2=1.5cx(T-10)\). При отсутствии тепловых потерь, очевидно, \(Q_1=Q_2\). Приравнивая и сокращая на \(cx\), получаем уравнение:

\[
70-T=1.5(T-10),
\]

откуда \(T=34\). Итак, общая производительность кранов составляет \(2.5x\) литра в минуту при температуре струи 34°. Требуемые 43° превосходят её, поэтому нужно какое-то время наполнять ванну из одного горячего крана, а потом в дополнение к нему открыть ещё и холодный.

Предположим, что в ванне должно оказаться \(X\) литров горячей воды и \((30x-X)\) литров смеси. Снова записываем уравнение теплового баланса:

\[
cX(70-43)=c(30x-X)(43-34)
\]

\[
27X=9(30x-X)
\]

\[
36X=270x
\]

\[
\frac{X}{x}=\frac{270}{36}=7.5
\]

Это означает, что в ванне горячей воды с температурой 70° должно оказаться в \(7.5\) раз больше, чем горячий кран наливает в неё за минуту. То есть нужно сначала открыть горячий кран, а 7 минут 30 секунд спустя в дополнение к нему открыть ещё и холодный.

Отсюда нетрудно подсчитать, что совместная работа кранов потребует ещё 9 минут времени, так что вся ванна нальётся за 16 минут с половиной. (Разумеется, можно наполнять её и в обратном порядке — сначала смесь, потом горячая вода с теми же временами.)