Билинейное диофантово уравнение

Как известно, диофантовыми называются уравнения с избытком переменных, в которых действует существенное ограничение: эти переменные должны принимать целые (или, как вариант, натуральные значения). В школьную программу такие уравнения входят самым минимальным образом, да и то практическое рассмотрение темы всегда остаётся за учителями (которые чаще всего её не рассматривают).

Есть, однако, тип диофантовых уравнений, который не требует для решения никаких специальных знаний, и уметь решать этот тип очень-очень рекомендуется. Встречаем — билинейное диофантово уравнение. Выглядит оно вот так:

\[
Axy+Bx+Cy+D=0,
\]

где \(A\neq0\) и все коэффициенты целочисленны. Слово «билинейное» означает, что уравнение зависит от двух переменных и линейно по каждой из них в отдельности. Будем предполагать, что уравнение предварительно сокращено на наибольший общий делитель всех его коэффициентов. Пусть для определённости \(A>0\).

Если коэффициент \(A\) не является точным квадратом, то помножим на него всё уравнение:

\[
A^2xy+ABx+ACy+AD=0.
\]

Теперь преобразуем левую часть следующим образом:

\[
A^2xy+ABx+ACy+AD = (Ax+C)(Ay+B)-BC+AD.
\]

Уравнение тогда примет вид

\[
(Ax+C)(Ay+B)=BC-AD.
\]

Поскольку все коэффициенты целые, каждая из скобок в левой части будет являться целым числом. Таким образом, дальнейший ход решения определяется всевозможными разложениями правой части на целые множители.

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу:

Найти натуральные решения уравнения \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{13}\,.\)

Выполним вычитание дробей в левой части

\[
\frac{y-x}{xy}=\frac{1}{13}
\]

и перемножим уравнение как пропорцию (при этом, очевидно, появится ложное решение \(x=y=0\)):

\[
xy=13(y-x)
\]

\[
xy-13y+13x=0
\]

\[
(x-13)(y+13)+169=0
\]

\[
(x-13)(y+13)=-169.
\]

Каждая из двух скобок в левой части должна быть целым делителем числа \(169\). При этом, поскольку нас интересуют натуральные решения, в частности \(y\geqslant1\), вторая скобка должна быть натуральным делителем числа \((-169)\), не меньшим чем \(14\).

Такой делитель существует только один, и это \(169\). Итак, \(y+13=169\), тогда \(y=156\). Соответственно, \(x-13=-1\), откуда \(x=12\).

ОТВЕТ: \(\frac{1}{12}-\frac{1}{156}=\frac{1}{13}\).