Ещё об улитке на ленте

Какое-то время назад я рассматривал здесь парадоксальную задачу о движении улитки по растягивающейся ленте. Удалось придумать к ней усовершенствование: оказывается, показать решение получающегося дифференциального уравнения вполне можно на уровне школьной математике без специальных знаний.

Как мы помним, уравнение движения имеет вид\[ x’ = v + \frac{wx}{L+wt},\]где \(x(t)\) — координата улитки относительно начала ленты, \(v\) — собственная скорость улитки относительно ленты, \(w\) — скорость растягивания ленты, \(L\) — начальная длина ленты.

Преобразуем его следующим образом:\[x'(t)-\frac{x(t)}{t+\frac{L}{w}}=v.\]Разделим на \((t+\frac{L}{w})\):\[\frac{x'(t)}{t+\frac{L}{w}}-\frac{x(t)}{\left(t+\frac{L}{w}\right)^2}=\frac{v}{t+\frac{L}{w}}.\]

Если теперь вспомнить правило дифференцирования сложной функции, то можно увидеть, что левую часть можно записать в виде производной:\[\left(\frac{x(t)}{t+\frac{L}{w}}\right)’_t=\frac{v}{t+\frac{L}{w}}.\]Интегрируя это соотношение по \(t\), получаем\[\frac{x(t)}{t+\frac{L}{w}} = v\ln\left(t+\frac{L}{w}\right)+C,\]откуда простейшими преобразованиями получается\[x(t)= \left(t+\tfrac{L}{w}\right) \ln\left(v\ln\left(t+\tfrac{L}{w}\right)+C\right).\]При наличии условия \(x(0)=x_0\) совсем нетрудно найти константу \(C\) и далее решить уравнение \(x(t)=L+wt\).