Турнир, ЕГЭ и алгебра

Надо признать, и в сборниках для подготовки к ЕГЭ иногда попадаются очень годные задачи. Вот, мои школьники притащили из какой-то такой книжки.

В рамках шахматного турнира каждый его участник играет с каждым другим по две партии. За выигрыш в каждой партии начисляется \(1\) очко, за ничью \(0.5\) очка, за проигрыш \(0\) очков. В школьном турнире принимали участие мальчики и девочки, причём мальчиков было в девять раз больше, чем девочек, а очков они (в совокупности) набрали в четыре раза больше. Сколько девочек было среди участников?

Ключевым моментом этой задачи является правило начисления очков. В каждой партии разыгрывается одно очко, которое в случае ничьей делится пополам между игравшими, а в противном случае полностью переходит к победителю. Общее количество очков, разыгранных в турнире, равно общему количеству сыгранных партий.

А сколько партий играется в описанном турнире? Допустим, что участие в нём принимают \(n\) человек.

Каждый их этих \(n\) участников играет по две партии с каждым из \((n-1)\) остальных, то есть всего по \(2(n-1)\) партий. Всего получается \(2n(n-1)\) партий, но это число нужно разделить на два: если Иванов играет с Петровым, то при этом и Петров одновременно играет с Ивановым — все партии симметричны.

Итак, по описанным правилам \(n\) участников играют между собой \(f(n)=n(n-1)\) партий.

Пусть было \(x\) участников-девочек, тогда мальчиков было \(9x\), а общее число участников \(10x\). Всего в турнире разыграли \(f(10x)=10x(10x-1)\) очков, из которых \(8x(10x-1)\) оказалось на счету у мальчиков, а \(2x(10x-1)\) у девочек.

С другой стороны, эти \(9x\) мальчиков сыграли между собой \(f(9x)=9x(9x-1)\) партий, в которых разыграли столько же очков. При любых возможных исходах отдельных партий эти очки в совокупности остаются за мальчиками, меньше набрать они не могли в принципе. Отсюда имеем неравенство\[9x(9x-1)\leqslant8x(10x-1).\]Раскрывая в нём скобки и упрощая, получаем \(x^2\leqslant x\), которому из всех натуральных чисел удовлетворяет только \(x=1\).

Итак, при описанных условиях в турнире могла принимать участие только одна девочка. Причём ей пришлось бы выиграть все свои партии. :)