Принять за единицу

Очень часто решение текстовых задач резко упрощается, если правильно принять какую-то присутствующую в задаче величину за условную единицу. Мы видели, например, что в задачах с ветром или течением удобно считать скорость этого ветра или течения единицей скорости. Рассмотрим этот приём на примере задач о совместной работе.

Равшан и Джамшуд сделали ремонт за 11 дней, причём за первую неделю выполнили 80% всей работы, а последние три дня трудился один Равшан. За сколько дней Равшан сделал бы весь этот ремонт в одиночку?

Эта задача интересна по двум причинам. Во-первых, её можно решить без всякой алгебры, чисто арифметически. Во-вторых, сколько я её предлагал школьникам — те неизменно попадались в ловушку, не замечая очевидного, казалось бы, факта: неделя совместной работы и три дня сольной вместе дают десять дней, а ремонт длился одиннадцать! Следовательно, там был ещё один день совместного труда!

Коль скоро в задаче упоминаются проценты, можно принять весь объём работы за 100, но при этом на процентах зацикливаться вовсе не обязательно — можно, например, считать, что ремонт заключался в укладке 100 квадратных метров плитки (главное здесь не пытаться соотносить принятые единицы с реальностью!).

За первые семь дней Равшан с Джамшудом по условию положили 80 метров плитки, так что за день они вдвоём кладут \(\tfrac{80}{7}=11\tfrac37\) метров. За восемь дней они вдвоём уложили, стало быть, \(80+11\tfrac37=91\tfrac37\) метров.

Равшану оставалось уложить \(100-91\tfrac37=8\tfrac47=\tfrac{60}7\) метра, и он это сделал за три дня. Его дневная производительность составляет \(\tfrac{60}7:3=\tfrac{20}7\) метра.

Значит, весь ремонт целиком был бы выполнен им за \(100:\tfrac{20}7=\tfrac{100\cdot7}{20}=35\) дней.

Равшан, Джамшуд и ещё девять их соотечественников строили две бани на двух дачных участках (проекты бань одинаковы, квалификация всех строителей также одинакова). На одном участке начал строить Равшан с тремя друзьями, на другом Джамшуд с шестью. Через пять дней начальник перегнал двоих от Джамшуда к Равшану. Строительство продолжалось изменённым составом бригад, и обе бани были готовы одновременно. Сколько дней заняли все работы?

В этой задаче удобно принять за условную единицу дневную производительность одного строителя. Можно, например, считать, что один строитель кладёт в день один кирпич — ещё раз напоминаю, совершенно не обязательно как-то соотносить это с реальностью!

На участке Равшана четверо строителей (включая, естественно, и самого Равшана) за пять дней положили \(4\cdot5=20\) кирпичей, а на участке Джамшуда семеро строителей положили \(7\cdot5=35\) кирпичей. Допустим, после этого работы продолжались ещё \(x\) дней. Теперь на участке Равшана трудилось \(4+2=6\) человек и они положили \(6x\) кирпичей, а на участке Джамшуда \(7-2=5\) положили \(5x\) кирпичей.

Там и там итоговые объёмы работ совпали (на каждом участке получилась целая баня). Имеем уравнение \(20+6x=35+5x\). Решая его, легко находим \(x=15\), так что вся строительная эпопея продолжалась \(5+15=20\) дней.