Теорема Пика и клеточки

Материалы профильного ЕГЭ по математике включают в себя геометрическую задачу «на клеточках», и среди таких задач самыми распространёнными, пожалуй, являются задачи на определение площадей. Долгое время я искренне считал такие задачи годными и полезными.

Ну в самом деле, здесь подвергаются проверке сразу три момента математического образования: знание формул площадей простых фигур, умение наиболее рациональным образом выделить такие фигуры на предложенном чертеже, ну и умение считать. Однако с некоторых пор ситуация изменилась и выглядит сейчас довольно странно…

Реальные задачи, предлагаемые на настоящих тестированиях, продолжают оставаться вполне нормальными и годными, а вот то, что даётся во всевозможных «сборниках для подготовки»… Создаётся такое впечатление, что составители этих сборников ставят своей целью откровенно поиздеваться над школьниками, предлагая им для определения площади совершенно невообразимые фигуры с зубцами чуть ли тройных изломов. Занятие абсолютно нетворческое и непродуктивное — а ведь школьные учителя используют эти сборники для проведения «подготовительных» контрольных работ…

В общем, я как-то раз и навсегда счёл свои руки развязанными, и теперь в обязательном порядке знакомлю своих старшеклассников с одной замечательной теоремой, неимоверно облегчающей решение такого рода задач. Вот она:

Теорема Пика
Пусть все узлы замкнутой ломаной линии, не имеющей самопересечений, лежат в точках с целочисленными координатами. Тогда площадь, ограниченная этой ломаной, в квадратных единицах данной системы координат выражается следующей формулой:\[S=i+\frac{b}{2}-1,\]где \(i\) — число целочисленных точек, охваченных этой ломаной, а \(b\) — число целочисленных точек, лежащих на самой этой ломаной (включая и узлы).

Инструкция по применению теоремы предельно проста. Считаем число пересечений линий сетки внутри многоугольника, затем считаем, через сколько пересечений проходит его граница (включая и сами вершины). К первому числу прибавляем половину второго и вычитаем из суммы единицу — получится искомая площадь. Всё.

Особо подчеркну, что результат будет точным (не приблизительным) и теорема работает для любого многоугольника, нарисованного по клеточкам (будь он выпуклым или невыпуклым)!

В школьную программу теорема Пика, конечно, не входит, но и пользоваться ей никто не может запретить. В случае чего рекомендую ссылаться на следующие две статьи в знаменитом журнале «Квант»:

  • Н.Васильев «Вокруг формулы Пика». — «Квант», 1974, № 12, стр. 39-43. (Онлайн версия)
  • А.Кушниренко «Целые точки в многоугольниках и многогранниках». — «Квант», 1977, № 4, стр. 13-20. (Онлайн версия)

Из этой теоремы, в частности, вытекает следующий любопытный результат:

Площадь любого многоугольника, нарисованного «по клеточкам», обязательно выражается целым или полуцелым числом.

Доказать его, кстати, можно и в виде самостоятельного факта, на теорему Пика не опираясь. Причём это под силу любому школьнику. Попробуйте. :)