Календарно-олимпиадное

Совершенно случайно, буквально на ходу, придумалась зверского вида задача с неожиданно простым и изящным решением. Ну то есть на ходу придумалась концепция, а потом уже за столом под неё подобрались числа.

Подбор чисел следует неписаной традиции — крайне желательно, чтобы в олимпиадных задачах встречался текущий год. В этом смысле задача подходит как для текущего 2017, так и для следующего 2018 года.

Вот она:

Доказать, что уравнение\[\tag{1}x^{2016}+y^{2016}+z^{2016}=2017^{2018}\]не имеет решений в целых числах.

Заметим прежде всего, что здесь вместо целых чисел достаточно говорить о натуральных числах с нулём: под чётной степенью знак совершенно неважен.

Пусть \(x\) — такое число. Тогда число \(x^2\) может заканчиваться только одной из следующих шести цифр \(\{0,1,4,5,6,9\}\) (см. таблицу умножения), а число \(x^4\) — только одной из следующих четырёх: \(\{0,1,5,6\}\).

Это второе множество — назовём его \(D_4\) — обладает тем свойством, что произведение двух любых его элементов заканчивается цифрой из него же (замкнутость). Поэтому \(x^8\), \(x^{12}\), \(x^{16}\) и т.д. — все степени с показателями, кратными четырём, — заканчиваются цифрами этого же множества.

Легко видеть, что \(2016=504\cdot4\), поэтому в левой части уравнения (1) складываются три числа, каждое из которых заканчивается цифрой множества \(D_4\).

Обратимся теперь к правой части. Рассмотрим степени числа \(2017\) и цифры, которыми они заканчиваются. \(2017^1\) заканчивается семёркой, \(2017^2\) девяткой, \(2017^3\) тройкой, \(2017^4\) единицей, \(2017^5\) семёркой, далее последние цифры циклически повторяются. Иными словами,

  • \(2017^{4n}\) заканчивается цифрой \(1\);
  • \(2017^{4n+1}\) заканчивается цифрой \(7\);
  • \(2017^{4n+2}\) заканчивается цифрой \(9\);
  • \(2017^{4n+3}\) заканчивается цифрой \(3\).

Так как \(2017^{2018}=2017^{4\cdot504+2}\), число в правой части уравнения (1) заканчивается девяткой. Теперь утверждение задачи доказывается очень просто: никакая сумма трёх элементов множества \(D_4\) заканчиваться девяткой не может, следовательно, равенство в (1) невозможно.

В качестве «сильно облегченного» варианта этой задачи на следующий год можно предложить точно такое же доказательство для уравнения \(x^4+y^4=2018\) — сумма двух чисел, заканчивающихся цифрами множества \(D_4\), не может заканчиваться восьмёркой.