Проценты, которые не проценты

Надо признать, что иногда школьники боятся задач с процентами вполне заслуженно — под достаточно невинным видом тут можно наворотить и нечто нетривиальное. Вот весьма нравящаяся мне задача из чехословацкой «Коммерческой арифметики» 1933 года.

Реклама срочного вклада утверждает «10% годовых в первые годы, 20% в последующие. Вложи 2500 крон и получи 4356.» На сколько лет рассчитан такой вклад, если проценты начисляются один раз в год и прибавляются к его сумме?

Попробуем решить. На вид это типичная задача с процентами, но в действительности от процентов тут требуется лишь принцип эквивалентного умножения. А именно: начисление на сумму вклада 10% эквивалентно её умножению на \(1.1\), а начисление 20% — умножению на \(1.2\).

Пусть первые \(n\) лет на вклад начисляется 10%, а следующие \(m\) лет — 20% годовых. Ответом тогда будет являться число \((n+m)\), а утверждение рекламы сводится к уравнению \[2500\cdot1.1^n\cdot1.2^m=4356,\]причём решать его нужно в натуральных числах.

Прежде всего выполним очевидное действие: разделим обе части на \(\gcd(2500,4356)=4\): \[625\cdot1.1^n\cdot1.2^m=1089.\]Далее избавимся от десятичных дробей, умножив обе части уравнения на \(10^n\cdot10^m=10^{n+m}\):\[625\cdot11^n\cdot12^m=1089\cdot10^{n+m}.\]

Теперь воспользуемся основной теоремой арифметики, утверждающей существование и единственность разложения натуральных чисел в простые множители. В левой части имеем: \(625=5^4\), \(12=2^2\cdot3\), \(11\) само является простым числом. В правой части получаем \(1089=11^2\cdot3^2\), \(10=2\cdot5\). С учётом этого уравнение принимает вид \[2^{2m}\cdot3^m\cdot5^4\cdot11^n = 2^{n+m}\cdot3^2\cdot5^{n+m}\cdot11^2.\] Сопоставляя показатели степеней тройки и одиннадцати, получаем, что \(n=m=2\); убеждаемся что при таких значениях показатели степеней двух и пяти также совпадают.

Итак, вклад рассчитан на \(2+2=4\) года.

Comments

Comments are closed