Геометрия, которая алгебра

Эту задачу я придумал ещё школьником, но она до сих пор мне нравится. :) По нынешним меркам, наверно, олимпиадный уровень.

Периметр прямоугольного треугольника составляет \(24\) см, а площадь \(24\) см². Найти гипотенузу этого треугольника.

Задача как бы геометрическая, но в действительности решается чисто алгебраическими методами. Она даже чертежа не требует.

Пусть \(x\) и \(y\) — катеты треугольника, а \(z\) — его гипотенуза. Тогда утверждение задачи о периметре эквивалентно уравнению \(x+y+z=24\), а утверждение о площади — уравнению \(\frac{xy}2=24\) или, что то же самое, \(xy=48\). К этим двум уравнениям добавим ещё одно, которое «делает» треугольник прямоугольным: \(x^2+y^2=z^2\).

Имеем систему: \[
\left\{\begin{aligned}
x+y+z&=24\\
xy&=48\\
x^2+y^2&=z^2
\end{aligned}\right.
\]
Она имеет совершенно «не школьный» вид и вообще на первый взгляд выглядит довольно устрашающе, но в действительности решается просто и изящно.

Из первого уравнения получаем\[\tag{1}x+y=24-z.\]Из второго уравнения\[\tag{2}2xy=96.\]Складывая (2) с третьим уравнением системы, получаем\[x^2+2xy+y^2=z^2+96,\]где левая часть, как нетрудно видеть, является полным квадратом:\[(x+y)^2=z^2+96.\]Подставляем сюда (1):\[(24-z)^2=z^2+96.\]После раскрытия скобок и упрощений получается простейшее (даже не квадратное) уравнение \(480-48z=0\), откуда \(z=10\).

Итак, гипотенуза треугольника равна \(10\) см. Зная её, из системы при желании можно найти катеты — они равны \(6\) и \(8\) см (соотношение египетского треугольника).

Задачу нетрудно переформулировать, предложив, например, найти радиус вписанной окружности или что-нибудь в этом духе.

Comments

  1. Да, но вот как решают такого рода задачи школьники?
    Возьмем S=26, P=24.
    Школьник пишет: S=pr, r=p-c. r=26/12=13/6, c=12-13/6=59/6.
    И не задумываясь дает неправильный ответ 59/6. Треугольника с такими параметрами не существует.
    А Ваша алгебра снимает вопрос о существовании.

    1. Честно признаться, я школьником почему-то долго никак не мог запомнить соотношения, связанные с вписанными и описанными окружностями, поэтому подобная логика решения тогда пришла бы мне в голову явно не в первую очередь. (: Вопрос о существовании или несуществовании треугольника с указанной площадью и (полу)периметром — да, алгебраически решается легко. Мне в этой связи, кстати, вспомнилась история, случившаяся на заре ЕГЭ.

      Была там задача следующего содержания (причём в «лёгкой» части): «Найти площадь прямоугольного треугольника, имеющего гипотенузу 10 и высоту 6». Она вызвала бурные дискуссии: куча народа яростно утверждала, что задача некорректна и единственного ответа не имеет, ещё куча народа яростно возмущалась, что ответ 10*6/2=30 им не зачли как правильный.

      И почти никто не заметил маленький такой факт: высота, опущенная на гипотенузу, не может превышать её половины, поэтому оказывается одним из катетом (автоматически являющимся одной из высот). Зная гипотенузу 10 и катет 6, находим другой катет 8, и площадь оказывается равной 6*8/2=24. Вполне себе корректная задача с однозначным ответом, и ответ этот отнюдь не равен 30.

      Можете попробовать на современных белорусских школьниках. (:

Comments are closed