«Трудная задача»

В русскоязычных книгах по занимательной математике нередко встречается репродукция картины Богданова-Бельского «Трудная задача» (она же «Устный счёт»). Сколько себя помню, суть этой картины всегда вызывала у меня недоумение.

Если присмотреться, то на доске написано выражение\[\frac{10^2+11^2+12^2+13^2+14^2}{365},\]которое и предлагается посчитать в уме. В этом, собственно, «трудная задача» и состоит.

trudnaja_zadacha

Когда я впервые это увидел — а это было лет в одиннадцать, — то просто посчитал «в лоб». Квадраты натуральных чисел я помнил где-то до \(20^2=400\), а сложить в уме несколько трёхзначных чисел не является таким уж интеллектуальным подвигом. Вычисление облегчилось ещё и тем, что у меня почти сразу получилось \(10^2+11^2+12^2=100+121+144=365\), это давало единицу в результат. Далее аналогично получилось \(13^2+14^2=169+196=365\), это дало ещё единицу, и ответ получился равным двум. Книжка подтверждала мой ответ, но почему-то добавляла, что вычисление основано на замечательном факте \(10^2+11^2+12^2=13^2+14^2\). Я же в этом факте абсолютно ничего замечательного не видел — ну то есть от слова «совсем».

Подумал: ну ладно, бывает. Кому-то показалось интересным, а мне нет. Дело вкуса, о вкусах не спорят. Но сколько раз я потом не встречал это выражение в книгах у самых разных авторов, и везде — «замечательный факт», «замечательный факт»…

Когда эти же слова с пафосным придыханием произнесла какая-то очередная учительница (это уже классе в восьмом было), я не выдержал и высказал своё недоумение вслух. Дескать, чего толку-то в этом факте? Было бы это свойство пяти последовательных целых чисел хоть сколько-нибудь распространённым или характерным — может и был бы толк. А так может существовать не более двух таких пятёрок, ну и что с того?! Что ж теперь — каждую подобную ерунду знать и помнить, что ли?!

С меня потребовали объяснить моё утверждение про «не более двух таких пятёрок». Я пожал плечами и озвучил очевидный, как мне казалось, факт: уравнение \[
x^2+(x+1)^2+(x+2)^2 = (x+3)^2+(x+4)^2\tag{1}
\]
является по сути квадратным и может иметь не более двух различных решений.

Пока учительница переваривала моё утверждение, я раскрыл в этом уравнении скобки, упростил его и нашёл оба решения: \(x_1=10\), \(x_2=-2\). И радостно заявил, что второе из этих решений намного более интересно, нежели десятка.

Учительница поинтересовалась, почему я так считаю. Я пояснил, что оно удовлетворяет не только (1), но и симметричному с ним уравнению \[
x^2+(x+1)^2 = (x+2)^2 + (x+3)^2+(x+4)^2\tag{2}.
\]
Подумал немного и сказал, что даже более того, если в (1) и (2) заменить вторые степени на любые чётные, то \(x=-2\) всё равно будет оставаться корнем, чего про десятку говорить нельзя.

Мне сообщили, что я не способен ценить красоту чисел и велели сесть. :) В общем, стороны остались при своих мнениях.

Впрочем, нет худа без добра: играясь со свойствами типа (1)-(2), я нашёл несколько любопытных уравнений: \[\begin{aligned}
(x+1)^1 + (x+2)^2 + (x+3)^3 &= (x+4)^4\\
(x-1)^1 — (x-2)^2 + (x-3)^3 &= 0\\
(x-1)^1 — (x-2)^2 + (x-3)^3 — (x-4)^4 &= 0
\end{aligned}\]
У них у всех есть целочисленные решения и, пожалуй, по нынешним временам эти уравнения вполне потянут на олимпиадные задачи.