Подбирают…

Наверное, любой преподаватель математики знает байку про своего незадачливого коллегу, который решил занять чем-нибудь детишек и велел им найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. На беду того учителя, среди детишек нашёлся юный Гаусс, с ходу открывший формулу суммы арифметической прогрессии и тут же её применивший…

Я это к тому, что задачи-таймкиллеры — то есть задачи, предназначенные для убийства некоторого количества учебного времени (а иногда такая необходимость возникает) — нужно выбирать с осторожностью. Вдруг среди обучаемых отыщется очередной Гаусс?

Активное внедрение тестирования в обучение повлекло за собой определённый сдвиг мышления: школьники чаще стали искать решение подбором, причём для оптимизации этого подбора придумывать весьма нетривиальные ходы.

Вот, например, довольно известная задача:

Произведение четырёх последовательных натуральных чисел равно \(3024\). Найти эти числа.

Классическое её решение сводится к следующим рассуждениям:

  1. Можно с уверенностью говорить, что ни один из этих четырёх множителей не заканчивается ни нулём, ни пятёркой.
  2. Поскольку \(3024<10^4\), можно в свете предыдущего утверждения сделать вывод, что все четыре числа меньше десяти (переход через десятку невозможен).
  3. Остаётся лишь два варианта — либо \(1\cdot2\cdot3\cdot4\), либо \(6\cdot7\cdot8\cdot9\). Легко проверить, что первое из этих произведений равно \(24\), а второе как раз \(3024\).

В наши дни давать школьникам эту задачу практически бесполезно — моментально сообразят, что \(3024\) совсем не много и лихо подберут на калькуляторе (который доступен даже на самом занюханном мобильнике). Времени это у них займёт ничуть не больше, чем решение рассуждениями, а то и даже меньше.

А если взять числа побольше? Попробовал предложить число \(18395520\), разрешил пользоваться калькуляторами — неужели будут подбирать? И что ж вы думаете — подобрали-таки! Причём довольно хитро и быстро подобрали.

Подобравший изложил мне следующую логику решения:

  1. Для начала я посчитал \(100\cdot99\cdot98\cdot97 = 94109400\). Это сильно больше, так что наши четыре числа должны быть двузначными.
  2. Я попробовал найти первую цифру множителя. \(10^4=10000\), \(20^4=160000\), \(30^4=810000\), пока совсем мало, всего шесть цифр в произведении, \(40^4=2560000\), \(50^4=6250000\), \(60^4=12960000\), \(70^4=24010000\). Наши четыре множителя явно начинаются на шестёрку.
  3. Далее я просто попробовал умножать подряд, и очень быстро нашёл, что произведение \(64\cdot65\cdot66\cdot67\) даёт требуемое число.

Всё это заняло около пяти минут и нельзя не признать, что сработало довольно эффективно. Но тут встаёт логичный вопрос: а как решать такие задачи без подбора?

Обобщим задачу:

Произведение четырёх последовательных членов арифметической прогрессии с разностью \(p\) равно \(S\). Найти меньший из этих элементов.

Пусть этот искомый элемент равен \(x\). Тогда его нахождение сводится к решению уравнения четвёртого порядка\[x(x+p)(x+2p)(x+3p)=S.\]

Перегруппируем множители следующим образом:\[\bigl(x(x+3p)\bigr)\bigl((x+p)(x+2p)\bigr) = (x^2+3px)(x^2+3px+2p^2).\]Вводя новую переменную \(t=x^2+3px\), получаем для неё отсюда квадратное уравнение \(t(t+2p^2)=S\).

Итак, задача сводится к последовательному решению двух квадратных уравнений: сначала \(t^2+2p^2t=S\), затем \(x^2+3px=t\). Ответ вполне может получиться не единственным — уже просто потому, что изменение знака у всех четырёх членов прогрессии на противоположный даст также арифметическую прогрессию с той же разностью, и произведение при этом не изменится.

И вот конкретный пример:

Решить уравнение \(x(x+13)(x+26)(x+39)=13464\).

Оно, кстати, имеет не только целые корни.