«Принцип крайнего» и неравенства

В какой-то старой книге мне доводилось встречать выражение «принцип крайнего», которое явно было авторским изобретением — во всяком случае, больше я его нигде не видел. За этим громко звучащим названием скрывалось простое по сути утверждение.

Вот оно:

Всякая сумма не больше своего максимального слагаемого, умноженного на общее их количество. Всякая сумма не меньше своего минимального слагаемого, умноженного на общее их количество.

В переводе на язык математической символики это можно записать так: \[
n x_\textrm{min} \leqslant \sum_{k=1}^n x_k \leqslant n x_\textrm{max}.
\]
Автор книги объяснял название следующим образом: если записать сумму по возрастанию величин слагаемых, то на месте \(x_\textrm{min}\) и \(x_\textrm{max}\) окажутся крайние слагаемые — первое и последнее.

Утверждение достаточно очевидное, но из него очень даже можно вывести неочевидные полезные следствия!

Возьмём, например, факториал\[n!=1\cdot2\cdot3\cdots(n-1)\cdot n\]и прологарифмируем его: \[
\ln n! = \ln2 + \ln3 + \cdots + \ln(n-1) + \ln n.\tag{1}
\]
Здесь в правой части слагаемое \(\ln1\) опущено из-за его равенства нулю.

Сколько всего в сумме (1) слагаемых? Очевидно, \((n-1)\). А какое из них наименьшее? Очевидно, первое. Это можно обозначить следующим образом: \[
\ln n! = \underbrace{\overbrace{\ln2}^\textrm{min} + \ln3 + \cdots + \ln(n-1) + \ln n}_{n-1}.
\]
Тогда, в соответствии с «принципом крайнего», \(\ln n!\geqslant(n-1)\ln2=\ln2^{n-1}\), а это можно записать в виде\[n!\geqslant\tfrac12\cdot2^n,\]причём легко проверить, что данное неравенство справедливо при всех натуральных \(n\).

Сумму (1) можно рассмотреть и по-другому: \[
\ln n! = \ln2 + \underbrace{\overbrace{\ln3}^\textrm{min} + \ln4 + \cdots + \ln(n-1) + \ln n}_{n-2},
\]
откуда \(\ln n!\geqslant \ln2+(n-2)\ln3=\ln(2\cdot3^{n-2})\) и, соответственно,\[n!\geqslant \tfrac29\cdot3^n,\]что заведомо справедливо при \(n\geqslant3\) и проверкой нетрудно убедиться в справедливости неравенства для всех натуральных \(n\).

Продолжая подобным образом, можно прийти к очень важному выводу:

Каково бы ни было фиксированное натуральное число \(k\in\mathbb{N}\), обязательно найдётся такая константа \(M>0\), что для натуральных \(n\) (по меньшей мере, таких что \(n\geqslant k\)) будет справедливо неравенство\[\boxed{n!\geqslant Mn^k}\]

Говорят ещё, что факториал по сравнению с любой степеннóй функцией представляет собой несоизмеримо бóльшую величину. В математическом анализе смысл этого понятия устанавливается со всей строгостью.