Алгебраическая задача из прошлого

В букинистическом магазине взял с полки полистать старое издание «Занимательной алгебры» Перельмана. Дома и так есть несколько разных экземпляров, но интересно же. Открываю — а на форзаце вклеена газетная вырезка с задачей!

Выяснить, откуда оно было вырезано, уже скорее всего невозможно: там только сама эта задача, ничего из выходных данных газеты нету. Книга вышла в 1957 году, но это ни о чём не говорит. А задача оказалась неплохой, так что я вытащил блокнот и переписал её себе под злобное шипение тётки-продавщицы.

Вот она, эта задача. Дословно:

Для оказания помощи терпящей бедствие полярной станции были отправлены два самолёта: пилот более быстрого разведчика взял медикаменты для раненых полярников, а в транспортный самолёт погрузили материалы и инструменты для восстановления станции. Оба самолёта поднялись в воздух одновременно с одного аэродрома.

Сбрасывая на станцию медикаменты, пилот разведчика услышал по радио сообщение командира транспортника, что тот уже преодолел три четверти пути до станции. После этого разведчик взял обратный курс на базу, и с этого момента до момента встречи в воздухе самолёты пролетели одинаковые расстояния. Во сколько раз скорость разведывательного самолёта превосходит скорость транспортного?

Попробуем решить. На первый взгляд кажется, что скорость транспортника составляет \(\frac34\) скорости разведчика, но это противоречит второй половине условия задачи: после разворота скорость разведчика сравнялась со скоростью транспортника. Объяснить можно присутствием ветра, который стал мешать разведчику (а до разворота, очевидно, помогал). Поскольку в условии ничего про это не сказано, придётся считать ветер постоянным.

Получается типичная задача с неполным решением. Приняв скорость ветра за единицу скорости, выразим в этих единицах скорость разведчика \(x\) и скорость транспортника \(y\). Когда оба самолёта летели по ветру, транспортник имел скорость, равную трём четвертям скорости разведчика (также летевшего по ветру); при этом скорость разведчика против ветра равна скорости транспортника по ветру.

Получается нехитрая система: \[
\left\{\begin{aligned}
\tfrac34(x+1) &= y+1\\
x-1 &= y+1
\end{aligned}\right.
\]

Приравнивая левые части уравнений между собой (так как каждая из них равна одному и тому же \(y+1\)), находим \(x=7\). Тогда из любого уравнения \(y=5\), и требуемое соотношение скоростей составляет \(\frac75=1.4\).

Comments

  1. Да-а-а. Занимательная задача получается, в духе Перельмана, интересное Ваше решение. Ветер можно заменить наличием некоей потусторонней силы.

Comments are closed