Тригонометрические часы

Самые обыкновенные наручные часы могут быть отличным пособием при изучении тригонометрии (10 класс российской школьной программы по математике), они же могут служить и хорошей шпаргалкой. Нужно только, чтобы часы были стрелочными и на циферблате присутствовали все часовые отметки.

Идея следующая: рассматриваем циферблат в качестве тригонометрической окружности. Он удобно разделён на двенадцать равных частей, а головка часов может служить «нулевой отметкой».

wristwatch

Далее излагается моя методика изучения тригонометрии «по часам». За последние два года проверена неоднократно, но в той части, которая касается значений синуса и косинуса, успех в значительной степени зависит от красноречия преподавателя.

Градусная и радианная меры углов

Для начала просим обучаемого определить, какая дуга заключена между двумя соседними часовыми отметками. С этим обычно не возникает проблем: если в градусах, то \(\frac{360^\circ}{12}=30^\circ\), а если в радианах, то \(\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}\).

Далее называем углы в градусах и радианах, предлагая сказать, какие часовые отметки соответствуют этим углам. И наоборот — называем часы и просим называть соответствующий угол в градусах и радианах. Не забываем углы, кратные \(\frac{\pi}4\) — это «полвторого», «полпятого» и далее.

Называем «нестандартные» углы и просим назвать, между какими часовыми отметками они должны располагаться — \(\frac{11\pi}{17}\), \(\frac{2\pi}{9}\), \(\frac{4\pi}{7}\) и тому подобные. Полезно ещё и для развития навыков манипуляции с дробями в уме.

Синус и косинус, их значения и знаки

Называем какую-нибудь часовую отметку, например два часа. Вспоминаем, что они соответствуют углу \(\frac{\pi}{3}\). Поясняем, что если из этой отметки опустить перпендикуляр на горизонтальный радиус циферблата (тот, что идёт из центра на три часа), то он отсечёт от радиуса часть, равную косинусу выбранного угла, а если на вертикальный (из центра на полдень) — то часть, равную синусу.

Естественным образом говорим, что если перпендикуляр опустится не на правый или верхний радиус (положительные направления), а на левый или нижний, то знак результата нужно брать отрицательным. Делаем вывод:

  • между 12 часами и 3 часами синус и косинус положительны;
  • между 3 часами и 6 часами косинус положителен, а синус отрицателен;
  • между 6 часами и 9 часами синус и косинус отрицательны;
  • между 9 часами и 12 часами синус положителен, а косинус отрицателен.

Трёхчасовая отметка (угол \(\varphi=0\)) отсекает от правого горизонтального радиуса его весь, поэтому говорим, что \(\cos0=1\), а от любого вертикального не отсекает ничего, поэтому \(\sin0=1\). Аналогично, двенадцатичасовая отметка (\(\varphi=\frac\pi2\)) отсекает от верхнего вертикального радиуса его весь, а от любого горизонтального не отсекает ничего, поэтому \(\sin\frac\pi2=1\), \(\cos\frac\pi2=0\).

Теперь возьмём двухчасовую отметку (\(\varphi=\frac\pi6\)), проведём от неё влево горизонтальную линию. Даже на глаз хорошо видно, что она рассечёт верхний радиус (на полдень) пополам. Аналогично, если от часовой отметки (\(\varphi=\frac\pi3\)) опустить вертикаль вниз, то она рассечёт пополам правый радиус (на три часа). Отсюда можно запомнить, что \(\sin\frac\pi6=\cos\frac\pi3=\frac12\).

Вертикаль и горизонталь, проведённые от «половины второго» (\(\varphi=\frac\pi4\)), отсекают от правого и верхнего радиусов одинаковые отрезки, поэтому \(\sin\frac\pi4 = \cos\frac\pi4\). Хорошо видно, что эти отрезки несколько больше половины радиуса, поэтому нетрудно запомнить, что это общее значение есть \(\frac{\sqrt2}2\).

Наконец, если взять часовую отметку и провести горизонталь влево, то от вертикального радиуса она отсечёт его почти весь. Аналогично, от двухчасовой отметки вертикаль вниз отсечёт почти весь правый радиус. Можно запомнить, что \(\sin\frac\pi3 = \cos\frac\pi6 = \frac{\sqrt3}2\).

Некоторые тождества

Возьмём на циферблате отметки «1» и «5». Спрашиваем обучаемого, что между ними общего. При необходимости подводим к ответу: косинусы-то равны! Указываем на тот факт, что угол «на 1 час», отсчитанный от головки, точно такой же, как угол «на 5 часов», только взят в другую сторону. Делаем вывод о чётности косинуса: \(\cos(-\varphi)=\cos(\varphi)\).

Теперь спрашиваем: а что можно сказать про синусы этих же углов? Здесь обычно ответ следует сразу: по модулю равны, по знаку противоположны. Делаем вывод о нечётности синуса: \(\sin(-\varphi) = -\sin(\varphi)\).

Стoит показать по циферблату ещё несколько тождеств, например: \[
\begin{aligned}
\sin(\tfrac\pi2+\varphi) &= \sin(\tfrac\pi2-\varphi)\\
\cos(\tfrac\pi2+\varphi) &= -\cos(\tfrac\pi2-\varphi)\\
\sin(\tfrac{3\pi}2+\varphi) &= \sin(\tfrac{3\pi}2-\varphi)\\
\cos(\tfrac{3\pi}2+\varphi) &= -\cos(\tfrac{3\pi}2-\varphi)\\
\sin(\pi+\varphi) &= -\sin(\pi-\varphi)\\
\cos(\pi+\varphi) &= \cos(\pi-\varphi)
\end{aligned}
\]

Формулы приведения

А это самое изящное и наглядное применение часов в качестве пособия для тригонометрии. Для начала вводим несколько терминов, дабы объяснения звучали короче.

Если провести отрезок между центром циферблата и тремя часами, то на этом отрезке лежат положительные значения косинуса. Так и будем называть этот правый горизонтальный отрезок — «плюс-косинус». Аналогично, верхний вертикальный отрезок будем называть «плюс-синусом», левый горизонтальный — «минус-косинусом», нижний вертикальный — «минус-синусом».

Держим циферблат в его естественном положении, головкой вправо. А теперь поворачиваем по часовй стрелке так, чтобы головка заняла положение снизу. На сколько мы повернули? На четверть оборота в отрицательном направлении, то есть на \((-\frac\pi2)\). Теперь посмотрим, что же произошло с синусом и косинусом, если угол изменился на эту величину?

Четыре названных нами вертикальных и горизонтальных радиуса по-прежнему остаются четырьмя вертикальными и горизонтальными радиусами, но занимают другие положения на циферблате!

То, что мы называли «плюс-синусом», теперь заняло положение, которое прежде занимал «плюс-косинус». А «минус-синус» занял положение «минус-косинуса». Вот оно: синус превратился в косинус, но знак его не изменился! Записываем:\[\sin(\varphi) = \cos(\varphi-\tfrac\pi2).\]С другой стороны, «плюс-косинус» стал «минус-синусом», а «минус-косинус» — «плюс-синусом». То есть, косинус превратился в синус и изменил знак! Записываем и это:\[\cos(\varphi)=-\sin(\varphi-\tfrac\pi2).\]

Далее, повернём циферблат из исходного положения «головкой вправо» на половину оборота — так, что головка окажется слева. Половина оборота — это угол \(\pi\), причём направление совершенно несущественно. Итак, углы меняются на \((\pm\pi)\). А их синусы и косинусы?

Радиусы «плюс-синус» и «минус-синус» просто поменяются местами, аналогично радиусы «плюс-косинус» и «минус-косинус». То есть функции остаются теми же самыми, но меняют знак! Записываем:\[
\begin{aligned}
\sin(\varphi) &= -\sin(\varphi\pm\pi).\\
\cos(\varphi) &= -\cos(\varphi\pm\pi).
\end{aligned}\]

Дальше уже понятно: поворачиваем часы так, чтобы головка «смотрела» вверх — это \((+\frac\pi2)\) от исходного положения. «Плюс-косинус» стал «плюс-синусом», а «минус-косинус» — «минус-синусом»: косинус меняется на синус, но не требует перемены знака. «Плюс-синус» стал «минус-косинусом», а «минус-синус» — «плюс-косинусом»: синус меняется на косинус с переменой знака. Записываем:\[
\begin{aligned}
\sin(\varphi) &= -\cos(\varphi+\tfrac\pi2).\\
\cos(\varphi) &= \sin(\varphi+\tfrac\pi2).
\end{aligned}\]

Осталось сказать, что поворот на \((\pm\frac{3\pi}2)\) ничем не отличается от поворота на \((\mp\frac\pi2)\), переписать соответствующим образом кое-что из уже написанного, и перечисление формул приведения на этом закончено. Они имеют немного не такой вид, как в школьном учебнике, но по сути выражают то же самое.

Этот способ гораздо нагляднее и естественнее, чем ранее описанная мной тригонометрическая мандала, но, к сожалению, иногда возникает…

Неожиданная проблема

…и заключается она в том, что большинство нынешних школьников не носит наручных часов. Оно и понятно: при наличии мобильника…

Но отсутствие часов само по себе ещё не такая уж проблема — циферблат, в конце концов, можно просто нарисовать. А вот настоящей проблемой оказывается тот неожиданный факт, что многие старшеклассники уже просто не воспринимают стрелочные часы!