Задачи с неполным решением

Есть такой очень интересный класс задач — задачи с неполным решением. В них невозможно найти все упомянутые в условии неизвестные величины, но этого при правильном подходе и не требуется. Посмотрим несколько примеров.

Задача 1.
В лавку вошли три ковбоя. Первый купил четыре пачки патронов, шесть фунтов динамита и бутылку виски, заплатив \(44\) доллара. Второй купил пачку патронов и три фунта динамита, заплатив \(18\) долларов. Третий спросил две пачки патронов и бутылку виски. Сколько он должен заплатить за эту покупку?

Естественным образом напрашивается желание ввести три неизвестных \(x,y,z\) — цены пачки патронов, фунта динамита и бутылки виски соответственно. Условие задачи тогда принимает вид системы \[
\left\{\begin{aligned}
4x+6y+z &= 44\\
x+3y &= 18
\end{aligned}\right.
\]
Абсолютно правильно, однако система недоопределена — два уравнения на три неизвестных — и решить её однозначным образом невозможно. Этого, впрочем, и не требуется: ответом является не какая-то из переменных, а их комбинация \(2x+z\).

Нетрудно заметить, что её можно получить, вычтя из первого уравнения удвоенное второе: \[
(4x-2x) + (6y-6y) + z = 44-2\times18\qquad\Rightarrow\qquad 2x+z=8.
\]
Итак, последний покупатель должен заплатить за свою покупку \(8\) долларов.

Задача 2.
Два однотипных теплохода одновременно отправились по реке навстречу друг другу. Во сколько раз собственная скорость теплохода превосходит скорость течения реки, если спускавшийся по течению теплоход до момента встречи прошёл расстояние вдвое большее, чем поднимавшийся против течения?

Пусть \(x\) — скорость течения, а \(y\) — собственная (приборная) скорость теплохода. Поскольку до момента встречи оба теплохода двигались в течение одинакового времени, их скорости относятся так же, как пройденные ими расстояния. Иными словами, по течению теплоход идёт вдвое быстрее, чем против течения.

Условие задачи сводится тогда к уравнению \[
x+y = 2(y-x),
\]
которое не имеет однозначного решения, но позволяет найти требуемое отношение \(\frac{y}{x}\).

Разделим это уравнение на \(x\) (скорость течения заведомо не равна нулю, поэтому делить можно): \[
1+\frac{y}{x} = 2\cdot\frac{y}{x}-2,
\]
откуда легко выразить искомое \(\frac{y}{x}=3\). Итак, собственная скорость теплохода втрое больше скорости течения.

Задача 3.
Теплоход идёт по течению реки вдвое медленнее, чем скутер против течения, а по течению скутер идёт в четыре раза быстрее, чем теплоход против течения. Во сколько раз в стоячей воде скорость скутера больше скорости теплохода?

Это по школьным меркам довольно серьёзная задача, она предлагалась на вступительном экзамене абитуриентам механико-математического факультета НГУ в 1991 году.

Если поступить, как в прошлый раз, и принять за \(x,y,z\) скорости течения, теплохода и скутера соответственно, то условие сведётся к системе \[
\left\{\begin{aligned}
2(x+y) &= z-x\\
z+x &= 4(y-x)
\end{aligned}\right.
\]
Можно ли найти из неё искомое отношение \(\frac{z}{y}\)?

В принципе можно, если воспользоваться следующей схемой. Сначала выразим из первого уравнения \(x\) через \(y\) и \(z\), затем аналогично выразим \(x\) из второго уравнения. Приравняем полученные выражения, исключив тем самым \(x\). С полученным равенством поступим как в предыдущей задаче. Однако этот способ не самый простой, и в школе подобный приём (исключение параметра) не рассматривается.

Вместо этого поступим по-другому. Примем скорость течения за единицу, и будем выражать в этих условных единицах скорости как теплохода \(y\), так и скутера \(z\). Система примет вид \[
\left\{\begin{aligned}
2(y+1) &= z-1\\
z+1 &= 4(y-1)
\end{aligned}\right.
\]
Она легко приводится к привычному школьному виду \[
\left\{\begin{aligned}
2y-z &= -3\\
z-4y &= -5
\end{aligned}\right.
\]
и столь же легко решается школьными методами. Сложив уравнения между собой, получаем \(-2y=-8\), откуда \(y=4\) и далее из любого уравнения \(z=11\).

Обе скорости выражены в одинаковых — пусть даже и неизвестных! — единицах, так что их отношение есть \(\frac{z}{y}=\frac{11}4=2.75\).

Предыдущую задачу тоже можно решить аналогичным способом, но там он не даст заметного упрощения.

Comments

Comments are closed