Когда усложнение полезно

Во все времена школьникам давали задачи типа «упростить выражение», то есть привести нечто к более простой форме. С которой удобнее работать, из которой виднее какие-то свойства и особенности… ну и так далее. Нужное умение, а как же иначе! Но иногда интересные результаты можно получить из усложнения.

Возьмём, например, обычный логарифм натурального числа \(\ln n\). Если \(n\geqslant2\), то на основании \(\ln1=0\) его можно представить в виде \[
\ln n = (\ln2-\ln1)+(\ln3-\ln2) + \cdots +
\bigl(\ln n-\ln(n-1)\bigr)
\]
(при раскрытии скобок все слагаемые, кроме \(\ln n\), сократятся). Теперь каждое слагаемое преобразуем по известной формуле разности логарифмов: \[
\ln n = \ln\frac21 + \ln\frac32 + \ln\frac43 + \cdots + \ln\frac{n-1}{n-2} + \ln\frac{n}{n-1}
\]
и разобьём каждый аргумент логарифма на сумму: \[
\ln n = \ln(1+1) + \ln(1+\tfrac12) + \ln(1+\tfrac13) + \cdots +
\ln(1+\tfrac1{n-2}) + \ln(1+\tfrac1{n-1}).
\]

Если в сумме взять наибольшее слагаемое — а в данном случае это первое — и умножить его на общее количество слагаемых — а в данном случае их всего \((n-1)\) — то мы получим заведомо большее выражение. Поэтому \[
\ln n \leqslant (n-1)\ln2.
\]

Это неравенство можно привести к эквивалентному виду \(\log_2 n\leqslant(n-1)\) или развернуть в полезную цепочку \[
\ln n \leqslant (n-1)\ln2 < n\ln2 < n.
\]
Далее можно заметить, что эта цепочка справедлива и для случая \(n=1\).