Задача о высыпании монет

Довольно любопытная задачка по элементарной теории вероятностей — и пусть вас не введёт в заблуждение слово «элементарная».

В непрозрачном мешке находятся российские монеты рублёвых номиналов (1 рубль, 2 рубля, 5 рублей, 10 рублей). Общее количество монет и количества монет конкретных номиналов неизвестны. Хорошо встряхнув, мешок высыпают на стол, и далее поступают с монетами следующим образом. Монеты, выпавшие гербом вверх, убирают, а для остальных складывают их номиналы (если гербом вверх выпали все монеты, то результат полагают равным нулю). Какой результат более вероятен — чётный или нечётный? (Нуль является чётным числом.)

Заметим прежде всего, что чётность результата определяется тремя очевидными правилами:

  • Сумма двух чётных чисел есть число чётное.
  • Сумма чётного и нечётного числа есть число нечётное.
  • Сумма двух нечётных чисел есть число чётное.

Если все монеты в мешке имеют чётный номинал, то чётный результат будет получаться всегда, то есть с вероятностью 1. А если среди монет есть хотя бы одна нечётного номинала?

В этом случае все чётные монеты можно просто убрать из рассмотрения: их сумма никак не изменит чётность или нечётность суммы, выпавшей на нечётных монетах. Задача, таким образом, несколько упрощается:

Имеется наперёд неизвестное число монет нечётного номинала. Какова вероятность того, что их бросании сумма выпавших номиналов (считая выпавший герб за нуль) будет чётной?

Можно показать, что эта вероятность всегда составит ½. Например, по индукции.

Если у нас есть всего одна нечётная монета, то искомая вероятность равна выпадению герба, и это ½. База индукции есть.

Предположим теперь, что сделанное предположение справедливо для группы из \(N\) нечётных монет и добавим к ним ещё одну. Все возможные варианты выпадения \((N+1)\) монет исчерпываются четырьмя взаимоисключающими случаями:

  1. Для группы \(N\) монет получилась чётная сумма с вероятностью ½, добавленная монета выпала гербом с вероятностью ½ — результат чётный, с итоговой вероятностью ¼.
  2. Для группы \(N\) монет получилась чётная сумма с вероятностью ½, добавленная монета выпала номиналом с вероятностью ½ — результат нечётный, с итоговой вероятностью ¼.
  3. Для группы \(N\) монет получилась нечётная сумма с вероятностью ½, добавленная монета выпала гербом с вероятностью ½ — результат нечётный, с итоговой вероятностью ¼.
  4. Для группы \(N\) монет получилась нечётная сумма с вероятностью ½, добавленная монета выпала номиналом с вероятностью ½ — результат чётный, с итоговой вероятностью ¼

Складывая итоговые вероятности первого и четвёртого случаев, получаем, что чётный результат будет получаться с вероятностью ½. Индукционный переход удался и тем самым утверждение доказано.

Теперь подытожим. Если все монеты в мешке чётные, то чётный результат получается с вероятностью 1. Если в мешке есть хоть одна нечётная монета, то чётный результат получается с вероятностью ½.

Вероятность того, что все монеты в мешке чётные, очень трудно оценить точно — она, например, заведомо зависит от размеров мешка, — но она явно отлична от нуля. Обозначим её \(x>0\). Соответственно, вероятность того, что в мешке найдётся хоть одна нечётная монета, равна \((1-x)\).

По байесовской формуле условной вероятности, полная вероятность чётного результата будет тогда равна\[P=x\cdot 1 + (1-x)\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2} + \tfrac{x}{2} > \tfrac{1}{2}.\]Это означает, что выпадение чётной суммы более вероятно.