Бином Ньютона и неравенства

С использованием бинома Ньютона (программа 10 класса по математике) можно легко и изящно выводить нетривиальные неравенства, весьма полезные в курсе математического анализа. Давайте посмотрим, как это делается.

Положим \(x>0\) и запишем формулу бинома для \( (1+x)^n\):\[(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + \cdots + nx^{n-1} + x^n.\]Все слагаемые в правой части положительны, поэтому отбрасывание любого их числа строго уменьшает сумму.

Отбросив все слагаемые, кроме второго, получаем вспомогательное неравенство:\[(1+x)^n > nx,\qquad x>0.\]

Взяв в нём \(x=1\) и заметив, что \((1+1)^n=2^n\), получаем\[2^n>n.\]Очевидно отсюда, что тем более \(3^n>n\), \(4^n>n\) и т.д.

Теперь поступим хитрее и возьмём \(x=\sqrt{2}-1\approx 0.4\). Поскольку \(1+x=\sqrt{2}\), имеем неравенство\[\left(\sqrt{2}\right)^n = 2^{n/2} > n\cdot(\sqrt{2}-1).\]Обе части его положительны, поэтому, возводя в квадрат, получаем\[2^n > \left(\sqrt{2}-1\right)^2 n^2.\]

Далее можно взять \(x=\sqrt[3]{2}-1\approx 0.26\) и аналогично получить\[2^n > \left(\sqrt[3]{2}-1\right)^3 n^3.\]

Вообще, из этих рассуждений вытекает справедливость следующего важного утверждения:

Какова бы ни была степень \(k\geqslant 1\), обязательно существует такая константа \(M\), что при всех натуральных \(n\) выполняется неравенство\[2^n > Mn^k,\]тем более справедливое для \(3^n\), \(4^n\) и т.д.

Теперь поступим ещё более хитро и в правой части бинома отбросим все слагаемые, кроме третьего (полагая, что \(n \geqslant 2\)):\[ (1+x)^n > \frac{n(n-1)}{2}x^2 \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{(1+x)^n} < \frac{2}{n(n-1)\cdot x^2}.\]Взяв здесь \(x=1\) и умножив обе части на \(n\), получаем\[\frac{n}{2^n} < \frac{2}{n-1}\,.\]

Аналогично, если \(n\geqslant 3\), то в правой части бинома можно отбросить все слагаемые, кроме четвёртого, и получить\[\frac{n^2}{2^n} < \frac{24}{n-2}\,.\]

Далее можно продолжать таким же образом. Все эти неравенства очень полезны в математическом анализе для нахождения пределов последовательностей.