То, что вы забыли или не знали из школы

Специально для одиннадцатиклассников в преддверии ЕГЭ — подборка полезных фактов. Некоторые упоминаются в школьной математике мельком, некоторые просто стабильно забываются, некоторые не упоминаются, но легко доказываются.

Свойство заколдованного котика

Всякие соответствующие линейные измерения подобных фигур или тел относятся как коэффициент подобия; измерения площадей — как квадрат коэффициента подобия; измерения объёмов — как куб коэффициента подобия.

Свойство бабочки

Соединение четырёх произвольных различных точек окружности четырьмя хордами — двумя пересекающимися и двумя непересекающимися — даёт пару подобных треугольников.

Свойство рассечённого четырёхугольника

Всякий выпуклый четырёхугольник делится пересечением своих диагоналей на четыре треугольника. Произведения площадей противоположно лежащих треугольников равны между собой.

Свойство рассечённой трапеции

Диагонали трапеции, пересекаясь, делят её на четыре треугольника. Из них два треугольника при основаниях подобны друг другу с коэффициентом, равным отношению оснований, а два треугольника при боковых сторонах равновелики. См. также предыдущее свойство.

Теорема Вивиани

Для любой точки равностороннего треугольника (будь она внутренней или лежащей на стороне) сумма расстояний от этой точки до всех сторон есть постоянная величина, равная высоте треугольника.

Окружности правильного треугольника

У правильного (равностороннего) треугольника центры описанной и вписанной окружностей совпадают. Этот общий центр лежит на высоте треугольника, деля её в соотношении 2:1, считая от вершины. Меньший из двух отрезков, на которые этой точкой делится высота, является радиусом вписанной окружности, больший — радиусом описанной окружности.

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса любого из углов треугольника делит противолежащую сторону на два отрезка. Их длины относятся так же, как длины образующих этот угол сторон треугольника.

Свойство направляющих косинусов

Пусть три луча в пространстве исходят из одной точки и являются попарно перпендикулярными. Тогда любой четвёртый луч, исходящий из той же точки, образует с ними три таких угла, что сумма квадратов их косинусов равна единице.

Свойство ортогональной проекции многоугольника

Площадь ортогональной проекции многоугольника на некоторую плоскость равна произведению площади многоугольника на косинус двугранного угла между этой плоскостью и плоскостью многоугольника.

Расстояние от прямой до начала координат

\(\)Пусть прямая на плоскости задана своим уравнением \(ax+by+c=0\). Разделив это уравнение на заведомо отличное от нуля число \(\sqrt{a^2+b^2}\), получим\[\frac{ax}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{by}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}=0.\] Здесь модуль свободного коэффициента\[\varrho = \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]равен расстоянию от прямой до начала координат.

Медиана и высота прямоугольного треугольника

Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна её половине и является радусом описанной вокруг треугольника окружности. Она делит прямоугольный треугольник на два равнобедренных.

Высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два меньших прямоугольных треугольника, которые подобны как друг другу, так и исходному треугольнику. Квадрат длины этой высоты равен произведению длин отрезков, на которые она делит гипотенузу.

Часто встречающееся неравенство

Решением сплошь и рядом возникающего неравенства \(|x-a|<b\) является всего-навсего интервал \(x\in(a-b,a+b)\). Это множество точек, отстоящих от \(a\) менее чем на \(b\).

Знаки корней полинома

Если все коэффициенты полинома положительны или все отрицательны, то среди его корней не может быть положительных вещественных чисел (нуль может быть корнем, если свободный коэффициент равен нулю).

Целые корни полинома

Если полином имеет целые коэффициенты, то его целые вещественные корни должны быть делителями свободного коэффициента. См. также предыдущее свойство.

Геометрические места равноудалённых точек

Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух данных \(A\) и \(B\), является плоскость, перпендикулярная  к отрезку \(AB\) и проходящая через его середину.

Геометрическим место точек, равноудалённых от трёх данных \(A\), \(B\), \(C\), является прямая, перпендикулярная к плоскости этих точек \(ABC\) и проходящая через центр описанной окружности треугольника \(\triangle ABC\).

Отношение площадей разделённого треугольника

Если из вершины треугольника провести луч, пересекающий противолежащую сторону, то он разделит треугольник на два меньших. Их площади соотносятся так же, как длины отрезков, на которые разделена та сторона.

Разложение билинейного трёхчлена

Имеет место равенство \[xy+bx+cy = (x+c)(y+b)-bc.\]В частности, \[axy+bx+cy = a(x+\tfrac{c}{a})(y+\tfrac{b}{a})-\tfrac{bc}{a}.\]

Разложение квадратичного трёхчлена

Имеет место равенство \[ax^2\pm(a+b)xy+by^2 = (ax\pm by)(x\pm y).\]

Comments

  1. Спасибо за Теорему Вивиани — реально не знал этого факта

Comments are closed