Уравнения высоких степеней

Школьная программа предполагает, что выпускник должен уметь решать произвольные алгебраические уравнения первой-второй степеней и НЕКОТОРЫЕ уравнения более высоких порядков. Давайте несколько расширим знания и умения по части этих «более высоких».

Прежде всего, ряд уравнений третьей степени можно решить простыми алгебраическими преобразованиями, и подобные задачи даже могут попасться в «продвинутой» части ГИА/ЕГЭ. Вот типичный пример: уравнение \(x^3-5x^2+3x-15=0\).

Замечая, что \(1:(-5)=3:(-15)\), можно записать полином так:\[x^3-5x^2+3x-15=x^2(x-5)+3(x-5) = (x^2+3)(x-5),\]откуда видно, что уравнение имеет единственный вещественный корень \(x=5\) и два комплексных \(x=\pm 3i\).

Аналогично для уравнения \(x^3+x^2-3x-3=0\) записываем:\[x^3+x^2-3x-3 = x(x^2-3)+(x^2-3) = (x^2-3)(x+1),\]откуда \(x=-1\) и \(x=\pm\sqrt{3}\).

Общее правило: если в уравнении третьего порядка присутствуют все степени неизвестного от нулевой до третьей, то нужно обращать внимание на то, нельзя ли разбить четыре коэффициента на две одинаково пропорциональные пары.

Более сложный пример: уравнение \(x^3+x^2-12=0\). Если заметить, что \(12=8+4=2^3+2^2\), то можно записать\[x^3+x^2-12 = (x^3-8) + (x^2-4) = (x-2)(x^2+2x+4) + (x-2)(x+2),\]и дальнейшие выкладки довольно очевидны.

Аналогично, в уравнении \(x^3+x-68=0\) видим, что \(68=64+4\) и записываем\[(x^3-64)+(x-4) = (x^3-4^3)+(x-4).\]

Общее правило: если в уравнении третьего порядка есть свободный коэффициент, но отсутствует первая или вторая степень, то нужно обращать внимание на то, нельзя ли представить свободный коэффициент суммой/разностью присутствующих степеней одного и того же числа.

Но бывает, что в уравнении никак не удаётся увидеть преобразование, ведущее к решению: таково, например, уравнение \[x^3+12x^2+18x+77=0.\] Точнее, решить его выкладками можно, но для этого требуется немалый опыт и мощная математическая интуиция. Как быть в этом случае?

Школьные рекомендации говорят: в таких случаях надо попытаться подобрать один из корней уравнения \(x=x_0\) и, если это удастся, разделить уравнение на \((x-x_0)\), после чего порядок понизится. В принципе это совершенно правильно: учебные задачи практически всегда составляются так, что один корень оказывается небольшим по модулю целым числом, подбор которого много времени не занимает.

Но что будет делать по этой рекомендации типичный школьник, решая вышеприведённое уравнение? Почти наверняка — подставит в уравнение единицу: не является ли она корнем? А зачем?!

Разве единица может быть корнем этого уравнения? Подставив её, мы получим в левой части положительное число, заведомо превосходящее \(77\), которое никак не может быть равно нулю в правой части. Если на то пошло — никакое положительное число не может быть корнем этого уравнения: сумма положительных чисел в любых степенях с положительными коэффициентами всегда будет положительной.

Общее правило: полином со всеми коэффициентами одного знака может иметь своими вещественными корнями только отрицательные числа.

Итак, проверять единицу не имеет смысла. Возьмём минус единицу и быстро убедимся, что это не корень. Дальше среднестатистический школьник, памятуя об отсутствии положительных корней, попробует минус двойку. А зачем?!

Посмотрим на уравнение: если в качестве \(x\) взять чётное число, то \(x^3+12x^2+18x\) также всегда будет чётным числом, и в сумме с нечётным \(77\) никогда не сможет дать нуль!

На этот раз мы даже не станем торопиться формулировать общее правило, и проведём сначала следующие рассуждения.

Пусть \(x_k\) — всевозможные различные вещественные корни уравнения (очевидно, их не более трёх). Полином \(x^3+12x^2+18x+77\) может быть разложен в произведение не более чем четырьмя способами:\[(x-x_0)^3 = (x-x_0)(x-x_0)(x-x_0)\]\[(x-x_0)^2(x-x_1) = (x-x_0)(x-x_0)(x-x_1)\]\[(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\]\[(x-x_0)(x^2+px+q),\]причём в последнем случае полином \(x^2+px+q\) вещественных корней не имеет, то есть \(p^2<4q\).

Раскроем мысленно скобки — нас сейчас будет интересовать только свободный коэффициент, который обязан оказаться равным \(77\). В первом случае имеем \(x_0^3=77\), во втором \(x_0^2x_1=77\), в третьем \(x_0x_1x_2=77\), в четвёртом \(x_0q=77\).

Что же получается? Если \(x_k\) — целый корень уравнения, то его свободный коэффициент \(77\) обязан нацело на него делиться! И вот это уже общее правило, справедливое не только для полиномов третьей степени:

Общее правило: если полином с целыми коэффициентами имеет вещественные корни, то его свободный коэффициент делится на любой из целых корней.

Для данного конкретного уравнения в силу этого и предыдущего правила может существовать не более трёх целых корней: \(-1\), \(-7\) и \(-11\). Непосредственно проверяя эти числа подстановкой, убеждаемся, что \(x=-11\) является корнем. Далее, деля уравнение на \((x+11)\), получаем квадратное уравнение без вещественных корней.