Математика туалетной бумаги

Иногда немало интересного можно найти в совершенно обыденном объекте, который отлично знаком каждому, и который каждый множество раз буквально держал в руках. Вот одна из таких задач.

Толщина туалетной бумаги составляет 0.2 мм. Сколько витков такой бумаги нужно намотать на картонную гильзу диаметром 4 см, чтобы общая длина рулона составила 50 метров?

Задача не так проста, как может показаться на первый взгляд: с каждым новым витком диаметр намотки увеличивается. Решать её можно самыми разными способами, мы рассмотрим три. Условимся в качестве меры длины пользоваться миллиметрами, а количество витков обозначать \(n\).

Способ первый, сложный: интеграл

Намотка бумаги представляет собой спираль, которую нельзя считать правильной: увеличение диаметра происходит не постоянно и равномерно, а лишь при прохождении точки закрепления на гильзе. Но всё же можно считать правильную спираль хорошим приближением; будем исходить из этого.

Каждый новый виток (оборот) добавляет 0.2 мм к радиусу намотки. Тогда, выражая положение текущей точки прикосновения намотки углом \(\varphi\) (в радианной мере, разумеется!), можно описать спираль следующим уравнением в полярных координатах:\[r(\varphi)=20+\frac{0.2\varphi}{2\pi} = 20+\frac{\varphi}{10\pi}.\]Здесь 20 — это радиус гильзы (он же начальный радиус спирали).

Как известно, дифференциал длины дуги в полярных координатах выражается формулой\[dl = \sqrt{r(\varphi)^2+r'(\varphi)^2}\,d\varphi.\]В данном случае\[dl = \sqrt{ 400 + \tfrac{1}{100\pi^2} + \tfrac{4\varphi}{\pi} + \tfrac{\varphi^2}{100\pi^2} }\;d\varphi.\]Тогда длина рулона как функция числа витков выражается интегралом \[ L(n)= \int\limits_0^{2\pi n} \sqrt{ 400 + \tfrac{1}{100\pi^2} + \tfrac{4\varphi}{\pi} + \tfrac{\varphi^2}{100\pi^2} }\:d\varphi.\]Интеграл вполне берущийся, хотя выражение получается довольно сложным:\[L(n)= \left.\frac{(\varphi+200\pi)\sqrt{\varphi^2 + 400\pi\varphi + (200\pi)^2}+\mathrm{Arsh}(\varphi+200\pi)}{20\pi}\right|_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi n} . \]Приравнивая \(L(n)=50000\), получаем трансцендентное уравнение, которое можно решить графически или численно.

Численное решение приводит к ответу \(L(199.3)\approx50000\), то есть необходимо намотать на гильзу 200 витков бумаги (с округлением в пользу потребителя).

Способ второй, попроще: прогрессия

Теперь применим не столь зубодробительную методику. Будем считать, что намотка не спиральная, а образована отдельными витками, с каждым из которых радиус возрастает на 0.2 мм.

Пусть \(l_k\) — это длина \(k\)-го витка. Имеем\[\begin{split} l_1 &= 40\pi = 40\pi + 0.4\pi\cdot0\\ l_2 &= 40.4\pi = 40\pi + 0.4\pi\cdot1\\ l_3 &= 40.8\pi = 40\pi + 0.4\pi\cdot2  \end{split}\]и так далее. Вообще,\[l_k = 40\pi + 0.4\pi\cdot(k-1).\]

Суммируя по \(k\) от \(1\) до \(n\), получаем общую длину рулона:\[L(n) = l_1+l_2+\cdots+l_n = 40\pi n + 0.4\pi\bigl(0+1+\cdots+(n-1)\bigr).\]Здесь в скобках заключена сумма арифметической прогрессии, которая легко сворачивается:\[L(n) = 40\pi n + 0.2\pi n(n-1) = 0.2\pi n^2 + 39.8\pi n.\]

Приравнивая к требуемой длине рулона, получаем обычное квадратное уравнение\[0.2\pi n^2 + 39.8\pi n = 50000,\]которое без проблем решается школьными методами. Его положительный корень есть \(n\approx199.6\), и это почти не отличается от решения предыдущим методом: опять-таки двести витков с округлением в пользу потребителя.

Способ третий, простейший: площадь

Теперь взглянем на задачу под необычным углом — в прямом смысле! Представим, что мы разложили эту 50-метровую ленту бумаги на горизонтальной поверхности.

Посмотрим сбоку — что мы увидим? Ребро ленты. Прямоугольник шириной 50 метров и высотой всего 0.2 мм. Его площадь составляет 10000 мм². Теперь свернём ту же ленту в рулон и опять посмотрим на него сбоку. Что увидим на сей раз? Да те же самые 10000 мм², но уже в виде кольца с внутренним радиусом 20 мм.

Найти внешний радиус \(R\) не составит труда:\[\pi(R^2-20^2)=10000,\]откуда \(R=59.9\) мм. Очевидно, он складывается из 20 мм гильзы и ещё 39.9 мм, образованных \(n\) слоями бумаги, каждый по 0.2 мм. Отсюда \[n=\frac{39.9}{0.2}\approx199.3\]

Резюме

Ответы, полученные при различных способах решения, отличаются очень незначительно — менее чем на треть витка. При 60-миллиметровом внешнем радиусе получившегося рулончика это порядка 12-13 сантиметров длины. Расхождения вполне объясняются различием выбранным математических моделей, и в любом случае получается, что нужно мотать 200 витков.

А вот грамотный выбор математической модели, как видно, способен очень сильно упростить решение!