Улитка на ленте

Есть задачи, решения которых кажутся совершенно неправдоподобными — разум пасует там, где, казалось бы, не очень сложная формула вполне однозначно раскрывает суть процесса. Вот одна из таких задач.

Резиновая лента в нерастянутом состоянии имеет длину 1 метр, левый её конец закреплён. Правый конец оттягивается вправо с постоянной скоростью 10 см/мин. От левого конца к правому ползёт улитка с постоянной скоростью 5 см/мин. За какое время улитка доползёт до правого края ленты?

Интуиция немедленно начинает кричать, что улитка никогда не доползёт — ну как же, скорость оттягивания правого конца превосходит её собственную скорость! Попробуем, однако, разобраться.

Всё дело в том, что эти 10 сантиметров в минуту отнюдь не приставляются к правому концу ленты! Они распределяются по всей её длине, в том числе и по тому участку, который улитка уже успела проползти. Тем самым, растяжение двигает улитку вправо, помогая ей достигнуть цели. Тем больше помогая, чем больше она уже успела проползти.

Будем измерять расстояния в метрах, а время в минутах. Пусть \(l(t)\) — длина ленты в момент времени \(t\). Достаточно очевидно, что \(l(t)=1+0.1t\).

Пусть \(x(t)\) — положение улитки, считая от точки закрепления левого края ленты. Очевидно, \(x(0)=0\). На сколько растяжение ленты подвинет улитку вправо?

Лента растягивается пропорционально и одинаково всюду. Если улитка проползла ровно половину текущей длины ленты \(l(t)\), то ровно половина растяжения окажется позади неё, а это 5 сантиметров. Если три четверти \(l(t)\), то позади окажутся три четверти от 10 сантиметров, то есть 7.5 см. Когда улитка сидит на левом краю, позади неё не окажется ничего. А если она на правом краю, то позади неё растянутся все 10 см.

Подытоживая, можно сказать, что находящуюся в точке \(x(t)\) улитку растяжение ленты подвинет на \[0.1\cdot\frac{x(t)}{l(t)} = \frac{0.1x(t)}{1+0.1t}.\]

Теперь вспомним, что производная \(x'(t)\) по определению есть мгновенная скорость улитки. Она складывается из двух компонент: собственная скорость 0.05 м/мин и приведённый выше сдвиг за счёт растяжения.

Объединяя всё сказанное, получаем математическую модель движения несчастного создания:\[ x’ = 0.05 + \frac{0.1x}{1+0.1t},\quad x(0)=0. \]

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решается, например, методом вариации постоянной, изложенным в любом учебнике. С учётом начального условия решение имеет вид \[ x(t) = \frac{1+0.1t}{2}\ln(1+0.1t). \]

Сразу видно, что \(x(t)\) возрастает, причём скорость роста выше линейной! Если теперь приравнять \(x(t)=l(t)\), то получится уравнение \[ \ln(1+0.1t)=2, \]откуда \(1+0.1t=e^2\) и, наконец, \[ t=10(e^2-1) \approx 63.9.\]Итак, улитка доползёт до правого края ленты чуть менее чем за час и четыре минуты.

Задачу нетрудно обобщить. Пусть начальная длина ленты \(L\), скорость растяжения \(w\), а собственная скорость улитки \(v\). Если начальное удаление улитки от левого закреплённого конца было \(x_0\), то задача описывается уравнением \[ x’ = v + \frac{wx}{L+wt}, \quad x(0)=x_0.\]Его решением является \[ x(t) = (L+wt)\left[ \frac{x_0}{L}+\frac{v}{w} \ln\left(1+\frac{wt}{L}\right)\right].\]

Скорость роста функции выше линейной, а отсюда следует кажущийся парадоксальным факт: при любом соотношении скоростей улитка всё равно доползёт до правого края!