Эллипс, вписанный в прямоугольник

Нередко возникает необходимость изобразить на чертеже эллипс. Сделать это циркулем и линейкой нельзя, зато ими можно начертить овал. То есть кривую, очень похожую на эллипс и гладко состыкованную из дуг окружностей.

В литературе по начертательной геометрии и инженерной графике приводятся рецепты таких построений, позволяющие вписывать овалы в определённые четырёхугольники, возникающие как проекции квадратов (соответственно, овалы-псевдоэллипсы выступают в роли проекций окружностей). Нас же будет интересовать построение овала как самостоятельная задача, не связанная с проектированием.

Пусть имеется прямоугольник \(ABCD\), у которого \(AB\) и \(CD\) являются длинными сторонами, а \(BC\) и \(AD\) короткими. Построим точки \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), являющиеся серединами сторон \(AB\), \(CD\), \(AD\) и \(BC\) соответственно.Проведём отрезок \(PQ\) и прямую \(MN\), точку их пересечения (центр прямоугольника) обозначим \(O\).

Далее необходимо посчитать величину\[\beta=\frac{1}{4q}\left[(p-q)\sqrt{p^2+6pq+q^2}+p^2+2pq-3q^2\right],\]где \(p\) и \(q\) равны половинам длинной и короткой сторон (то есть большой и малой полуосям требуемого эллипса).

На прямой \(MN\) отметим точки \(G\) и \(F\) такие, что \(OF=GF=\beta\). Они вполне могут оказаться вне прямоугольника \(ABCD\), это нормально. На предлагаемом чертеже точка \(G\) лежит между \(O\) и \(M\), а точка \(G\) между \(O\) и \(N\). Построим четыре отрезка \(AF\), \(BF\), \(DG\), \(CG\). Точки их пересечения с \(PQ\) обозначим \(X\) и \(Y\) (на чертеже \(X\) между \(O\) и \(P\), \(Y\) между \(O\) и \(Q\)).

Осталось провести четыре дуги окружности:

  • между отрезками \(AF\) и \(BF\) — с центром \(F\) и радиусом \(FM\);
  • между отрезками \(CG\) и \(DG\) — с центром \(G\) и радиусом \(GN\);
  • между отрезками \(AF\) и \(BF\) — с центром \(X\) и радиусом \(XP\);
  • между отрезками \(CG\) и \(DG\) — с центром \(Y\) и радиусом \(YQ\);

Эти дуги гладко состыкуются и вместе образуют замкнутую кривую, очень похожую на эллипс. Её отличие от эллипса тем меньше, чем ближе друг к другу \(p\) и \(q\).

Интересующиеся могут попробовать вывести формулу для \(\beta\) самостоятельно.