Ещё одна тайна прямоугольного треугольника

Факт, который сплошь и рядом встречается в учебных геометрических задачах, и который почему-то никогда не упоминается в русских учебниках как самостоятельный результат. А между тем, очень полезен.

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит его на два подобных прямоугольных треугольника. При этом коэффициент подобия выражается тангенсом острого угла (неважно какого — тангенсы углов, дополняющих друг друга до прямого угла, взаимно обратны).

Действительно, посмотрим на рисунок:

PryamTreugТреугольники \(\triangle ACD\) и \(\triangle CBD\) оба являются прямоугольными, ведь \(CD\perp AB\). Пусть \(x=\angle DBC\), тогда \(\angle DCB=90^\circ-x\). Соответственно,\[\angle ACD=90^\circ-(90^\circ-x)=x=\angle DBC.\]

Прямоугольные треугольники, имеющие одинаковый острый угол, подобны. Коэффициент подобия выражается, например, отношением\[\frac{CD}{AD}=\mathrm{tg}\,\angle CAD,\]что и требовалось доказать.

А вот как этот результат может быть использован. Типичная задача из тренировочных вариантов ГИА-2015:

Радиус окружности равен 13, а проведённая в ней хорда 24. Найти расстояние от хорды до параллельной ей касательной к окружности.

Кстати сказать, касательных таких имеется две, и ответов по-хорошему тоже должно быть два! Сделаем рисунок:

HordaKasПроведём к хорде \(AB\) две параллельные касательные и затем построим общий перпендикуляр ко всем трём прямым, являющийся диаметром окружности: \(CD=26\). Очевидно, он делит хорду \(AB\) пополам на отрезки \(AM=BM=12\), пересекая её в точке \(M\).

Искомые расстояния суть \(CM\) и \(DM\). Пусть \(CM=x\), тогда \(DM=26-x\). Из подобия треугольников \(\triangle AMD\) и \(\triangle CAM\) составляем пропорцию\[\frac{12}{26-x} = \frac{x}{12}.\]Отсюда имеем квадратное уравнение \(x^2-26x=144\), решить которое не составляет труда: \(x=13\pm 5\).

Два корня \(x_1=8\) и \(x_2=18\) в сумме дают \(26\), то есть диаметр окружности, как и должно быть.