Пирамида, конус и мышление

А вот интересная пара задач, хорошо подходящих для изучения процесса мышления у старшеклассников и студентов. Хороши они и сами по себе, так как сочетают в себе школьную геометрию с началами анализа, что бывает не столь часто.

Итак, для начала задача —

Найти наибольший объём, который может иметь правильная четырёхгранная пирамида с единичной апофемой.

Если подопытный вспоминает, что такое апофема, то он вполне правильно представляет себе искомую пирамиду в следующем виде:

Она однозначно определяется прямоугольным треугольником, в котором та самая единичная апофема является гипотенузой, а высота пирамиды \(h\) и половина стороны основания \(x\) — катетами. Объём пирамиды, очевидно, составляет\[V=\frac{1}{3}(2x)^2h=\frac{4}{3}hx^2.\]

Найти максимальное значение этого выражения можно несколькими способами. Будем, например, отталкиваться от \(x\). По теореме Пифагора, высота пирамиды составляет \(h=\sqrt{1-x^2}\) и задача сводится тогда к нахождению максимума функции\[V(x)=\frac{4}{3}x^2\sqrt{1-x^2},\qquad x\in(0,1).\]

Можно отталкиваться от высоты \(h\). По той же теореме Пифагора, \(x^2=1-h^2\), так что нужно работать с функцией\[V(h)=\frac{4}{3}(h-h^3),\qquad x\in(0,1).\]

Ещё один вариант — взять за неизвестное угол \(\alpha\) между гранью и основанием пирамиды. Тогда \(h=\sin\alpha\), \(x=\cos\alpha\), и мы получаем ещё одну функцию:\[V(\alpha)=\frac{4}{3}\sin\alpha\cos^2\alpha,\qquad \alpha\in(0,\tfrac{\pi}{2}).\]А можно ещё рассмотреть угол между апофемой и высотой… ну, в общем, понятно.

Какая из этих трёх функций наиболее удобна для поиска экстремума? Очевидно, вторая, — полином \(V(h)\). Человек, умеющий думать хотя бы на один шаг вперёд, сразу сообразит, что формула объёма пирамиды требует не \(x\) в чистом виде, а \(x^2\), который выражается через \(h\) легко и просто. А раз так, именно \(h\) и нужно брать за неизвестное.

Дифференцируя, получаем\[V'(h)=\frac{4}{3}(1-3h^2),\]откуда \(h=\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Разумеется, остальные варианты вполне корректны, но всё же чуть сложнее для решения. Все они в конечном итоге дадут одно и то же: максимальный объём такой пирамиды составляет\[V_\text{max}=\frac{2\cdot 4}{9\sqrt{3}}\approx 0.5132\]и достигается при \(h=\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(x=\sqrt{\frac{2}{3}}\), \(\alpha=\mathrm{arctg}\,\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 35^\circ16’\).

А зачем числитель записан в виде «\(2\cdot4\)» вместо простой восьмёрки? А вот зачем. Сразу после этой задачи хорошо дать другую, похожую:

Найти наибольший объём, который может иметь круговой конус с единичной образующей.

Хорошо соображающий человек моментально смекнёт, что объёмы конуса и пирамиды выражаются одной и той же формулой\[V=\frac{1}{3}S_\text{осн}h,\]а площади квадрата и круга находятся в постоянном отношении. Поэтому все предыдущие рассуждения остаются в силе, нужно только заменить \(4x^2\) на \(\pi x^2\).

Заменяя в найденном ответе для пирамиды четвёрку на \(\pi\), сразу получаем ответ для конуса:\[V_\text{max}=\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}.\]

Если же человек соображает не очень хорошо, то он начнёт проделывать все выкладки по новой и потратит на это лишнее время.