Логарифм как первообразная

Школьная программа предполагает, что выпускники должны знать интегральное исчисление хотя бы на уровне основ, однако многие тонкие моменты при этом даются чисто догматически и впоследствии вызывают большое недоумение. Одним из таких моментов является интеграл от обратной пропорциональности.

В школьных учебниках этот интеграл даётся так:\[\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C.\]Что в принципе совершенно правильно, но потом на институтских занятиях и в вузовских учебниках вчерашний школьник сплошь и рядом видит, как этим модулем под логарифмом пренебрегают и не пишут его. Попробуем разобраться, почему.

Для этого, правда, потребуется некоторое знакомство с несобственными интегралами. Пусть \(x\geqslant0\), тогда модуль можно не писать. Рассмотрим, например, интеграл\[\int_0^1\frac{dx}{x}.\]Он расходится, поскольку по определению\[\int_0^1\frac{dx}{x}=\lim_{a\to 0+0} \int_a^1\frac{dx}{x}=\lim_{a\to 0+0}(\ln1-\ln a)=+\infty.\]

Очевидно, подобный интеграл будет расходиться всегда, когда область интегрирования содержит нуль в качестве внутренней точки или границы. Он имеет смысл лишь при \(x>0\) или \(x<0\).

В конкретных задачах область интегрирования должна быть известной, по умолчанию же преподаватели и авторы учебников предполагают положительный случай и потому пренебрегают модулем. Вот и всё.

Запись модуля имеет ещё и тот побочный эффект, что создаёт у школьника/студента ложное чувство возможности «естественного перехода через нуль», при котором расходимость интеграла совершенно упускается из вида. Чтобы избежать этого, некоторые авторы прибегают к записи\[\int\frac{dx}{x}=\ln(\pm x)+C\] или даже\[\int\frac{dx}{x}=\ln(x\,\mathrm{sgn}\,x)+C.\]

Однако на мой взгляд, самой изящной является формулировка\[\int\frac{dx}{x}=\ln Cx,\]в которой подразумевается, что знак выражения под логарифмом корректируется знаком константы \(C\). Это особенно удобно при решении дифференциальных уравнений.