Три интеграла не по-книжному

В российском математическом образовании имеет место преступное пренебрежение гиперболическими функциями. Причина в общем понятна: их нельзя рассказать без экспоненты и логарифма, которые занимают довольно странное место в школьной программе — выпускной класс, между производной и интегралом. Темы эти сами по себе сложные, впихнуть их в головы старшеклассников банально не хватает времени (хотя интеграл школьникам — ну вот совсем не нужен!), так что какая уж тут гиперболика…


Между тем, гиперболика позволяет намного проще запомнить и записывать некоторые неопределённые интегралы. Особенно вот эти три, которые в русскоязычных учебниках почему-то считаются необязательными к запоминанию:

\[\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=\mathrm{Arsh}\,x+C,\qquad x\in\mathbb{R}\]

\[\int\frac{dx}{1-x^2}=\begin{cases}\mathrm{Arth}\,x+C,&|x|<1\\ \mathrm{Arcth}\,x+C,&|x|>1\end{cases}\]

\[\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}=\mathrm{sgn}(x)\cdot\mathrm{Arch}|x|+C,\qquad |x|>1\]

Ещё два интеграла, связанных с гиперболикой, интуитивно знакомы студентам-первокурсникам… во всяком случае, воспринимаются ими как должное:

\[\int\frac{dx}{\mathrm{ch}^2 x}=\mathrm{th}\,x+C,\qquad x\in\mathbb{R}\]

\[\int\frac{dx}{\mathrm{sh}^2 x}=-\mathrm{cth}\,x+C,\qquad x\neq 0\]

И ещё один интеграл, который помнить действительно не обязательно, но очень полезно:\[\int\frac{dx}{(x+a)(x+b)}=\frac{1}{b-a}\ln\left|\frac{a+x}{b+x}\right|+C,\qquad a\neq b\]В нём либо \(x<\min(-a,-b)\), либо \(\min(-a,-b)<x<\max(-a,-b)\), либо \(x>\max(-a,-b)\).