ГИА, ЕГЭ, квадраты и корни

Как известно, при сдаче ГИА и ЕГЭ нельзя пользоваться никакими подручными материалами. Многих школьников это буквально вгоняет в панику: а как мне корень извлечь из большого числа?! А в квадрат возвести без калькулятора?! В столбик?! У-у-у, это сколько времени потеряется…

Живо вспоминается цитата из повести Хайнлайна «Имею скафандр — готов путешествовать»:

…Зато я смог ответить на следующий вопрос:

— Чтобы узнать кубический корень, нужно посмотреть таблицу на задней странице учебника.

Отец вздохнул:

— Ты, никак, думаешь, что таблицу эту нам принёс ангел с небес?

Кубические корни трогать сейчас не буду — тем более, что про это уже было здесь, — а про возведение в квадрат двузначных чисел и извлечение квадратных корней из трёх-четырёхзначных чисел рассказать нетрудно. Это без особых затруднений проделывается в уме… тем более что в ГИА и ЕГЭ корни всегда извлекаются нацело.

Итак, пусть нужно возвести в квадрат двузначное число. Способ основан на формулах квадратичного бинома и разности квадратов, известных с седьмого класса: \[ (a\pm b)^2 = a^2\pm 2ab+b^2;\]\[a^2-b^2=(a-b)(a+b).\]

Пусть, например, нужно найти \(63^2\). Представим это в виде \((60+3)^2\), тогда по первой формуле квадрат будет складываться из чисел \(60^2=3600\), \(3^2=9\) и \(2\cdot60\cdot3=360\). Сложить их в уме не составляет труда: \[63^2 = (60+3)^2 = 3600 + 9 + 360 = 3969.\]

Или, скажем, нужен квадрат \(89^2\). Здесь удобнее представление \((90-1)^2\), для которого имеем \[89^2 = (90-1)^2 = 90^2-2\cdot90\cdot1 + 1^2 = 8100-180+1 = 7921.\]

Вторая формула (разность квадратов) очень удобна, если двузначное число заканчивается на \(5\). Запишем её в следующем виде: \[a^2=(a+b)(a-b)+b^2\] и будем полагать в ней \(b=5\).

Пусть нужен квадрат \(95^2\). Он вычисляется следующим образом: \[95^2 = (95+5)(95-5)+5^2 = 100\cdot90+25 = 9000+25 = 9025.\] Практическое правило выглядит так:

Если нужно возвести в квадрат двузначное число, заканчивающееся на \(5\), то нужно взять цифру десятков, умножить её на следующее за ней по порядку число и приписать к результату \(25\).

То есть, чтобы вычислить \(65^2\), берём шестёрку (цифра десятков), умножаем её на семёрку, получаем \(6\cdot7=42\) и приписываем далее \(25\). Ответом будет число \(4225\).

Подобный приём хорошо годится и для нахождения квадратов чисел от \(101\) до \(109\). Вот так: \[ 107^2 = (107-7)(107+7)+7^2 = 100\cdot114+49 = 11400+49 = 11449.\]

Теперь о том, как нацело извлекать квадратные корни из трёх- и четырёхзначных чисел. Для этого нужно просто вспомнить квадраты чисел, выражаемых десятичными цифрами: \[ \begin{array}{llllllllll} 0^2 & 1^2 & 2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 & 6^2 & 7^2 & 8^2 & 9^2 \\ 0 & 1 & 4 & 9 & 16 & 25 & 36 & 49 & 64 & 81 \end{array}\]

Таким образом,

  • если число является точным квадратом и заканчивается на \(0\), то и корень из него заканчивается на \(0\).
  • …заканчивается на \(1\), то корень заканчивается на \(1\) или \(9\).
  • …заканчивается на \(4\), то корень заканчивается на \(2\) или \(8\).
  • …заканчивается на \(9\), то корень заканчивается на \(3\) или \(7\).
  • …заканчивается на \(6\), то корень заканчивается на \(4\) или \(6\).
  • …заканчивается на \(5\), то корень заканчивается на \(5\).

Допустим, нужно извлечь корень \(\sqrt{7569}\). Это заведомо будет двузначное число, так как подкоренное число меньше \(10000=100^2\). Поскольку квадрат заканчивается на \(9\), корень должен заканчиваться на \(3\) или \(7\). Это вторая цифра результата, а какова первая? Число \(7569\) больше, чем \(6400=80^2\), но меньше, чем \(8100=90^2\), так что первая цифра может быть только восьмёркой.

Итак, если предполагать, что \(7569\) является точным квадратом, то корнем из него должно являться либо \(83\), либо \(87\). Второй вариант значительно больше похож на правду, так как \(7569\) явно ближе к \(8100\), чем к \(6400\). Проверяя способом, описанным выше, убеждаемся, что, действительно, \(87^2=7569\).

Ну и напоследок несколько простейших способов отличить числа, заведомо не являющиеся точными квадратами. Число не может являться точным квадратом, если…

  • Оно заканчивается на одну из цифр \(2,3,7,8\).
  • Оно заканчивается на \(0\), но не на \(00\).
  • Оно заканчивается на \(5\), но не на \(25\).