О языке математики

Принято считать, что язык математики един для всех. И спорить с этим утверждением трудно. Однако язык математических формул отнюдь не так един — в русскоязычной и англоязычной математике многие вещи обозначаются совершенно по-разному. И как ни странно, об этих различиях практически нигде не рассказывается. Восполним же пробел.

Арифметика

Стыд и срам, но в русской математике нет общепринятых обозначений для наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя. Их обычно по-школярски обозначают русскими аббревиатурами «НОК» и «НОД». Американцы же обозначают их как \(\mathrm{lcm}(n,m)\) (от least common multiple) и \(\mathrm{gcd}(n,m)\) (от greatest common divisor). А вот британский математик вместо \(\mathrm{gcd}(n,m)\) может написать \(\mathrm{hcf}(n,m)\) (от highest common factor).

Алгебра

В русской математике линейную оболочку набора элементов обозначают кто как хочет, чаще всего \(L(v_1,v_2,\ldots,v_n)\). В англоязычном математическом мире для этого принято обозначение \(\mathrm{span}(v_1,v_2,\ldots,v_n)\). Для обозначения степени полинома обычно пишут \(\mathrm{deg}\,P(x)\) — русскоязычный аналог такой записи отсутствует.

Тригонометрические функции

Синусы и косинусы в записи русского и американского математика будут выглядеть одинаково — \(\sin x\) и \(\cos x\). А вот тангенсы и котангенсы — уже по-разному! Там, где русский пишет \(\mathrm{tg}\,x\) и \(\mathrm{ctg}\,x\), у американца будет \(\tan x\) и \(\cot x\).

С обратными функциями всё ещё сложнее. То, что для русского пишется как \(\mathrm{arcsin}\,x\), \(\mathrm{arccos}\,x\), \(\mathrm{arctg}\,x\) и \(\mathrm{arcctg}\,x\), — для американца выглядит гораздо более коротко и единообразно: \(\mathrm{asin}\,x\), \(\mathrm{acos}\,x\), \(\mathrm{atan}\,x\), \(\mathrm{acot}\,x\).

Гиперболические функции

В русской математике обозначения для гиперболических синуса, косинуса, тангенса и котангенса сильно отличаются от их тригонометрических собратьев: это \(\mathrm{sh}\,x\), \(\mathrm{ch}\,x\), \(\mathrm{th}\,x\), \(\mathrm{cth}\,x\). Американцы просто добавляют к имени тригонометрической функции букву «h»: \(\mathrm{sinh}\,x\), \(\mathrm{cosh}\,x\), \(\mathrm{tanh}\,x\), \(\mathrm{coth}\,x\).

Единых обозначений для обратных гиперболических функций в русской математике нет вообще. Обычно используются следующие имена: \(\mathrm{Arsh}\,x\), \(\mathrm{Arch}\,x\), \(\mathrm{Arth}\,x\), \(\mathrm{Arcth}\,x\) (или, как вариант, те же имена со строчной буквы). У американцев всё унифицировано: \(\mathrm{asinh}\,x\), \(\mathrm{acosh}\,x\), \(\mathrm{atanh}\,x\), \(\mathrm{acoth}\,x\).

Биномиальные коэффициенты

Для обозначения биномиальных коэффициентов русские математики традиционно пользуются записью \(C_n^k\), вкладывая в неё комбинаторный смысл:\[C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},\qquad n\geqslant k.\]

Их американские коллеги вместо этого пишут нечто совсем другое:\[\binom{n}{k}.\]Обратите внимание, что буквы \(n\) и \(k\) стоят сверху и снизу наоборот по сравнению с русской записью!

Это совсем не случайно! Американская запись содержит в себе мнемонический элемент, потому что в неё вкладывается несколько более общий смысл:\[\binom{n}{k}=\frac{n\cdot(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}.\]Здесь в числителе стоит \(k\) сомножителей, которые, начиная с \(n\), последовательно уменьшаются на единицу. В знаменателе тоже \(k\) сомножителей, последовательно уменьшающихся на единицу, начиная с \(k\).

Такая запись имеет смысл не только при натуральных \(n\). Она представляет собой обобщённый биномиальный коэффициент в том виде, как его нашёл сэр Айзек Ньютон при разложении в степенной ряд функции\[f(x)=(1+x)^a\]для произвольных (в том числе отрицательных и нецелых) показателей степени \(a\).

Округление

В русской математике всё, связанное с округлением, традиционно обозначается квадратными скобками: \([x]\). Авторам каждый раз приходится пояснять, чтó именно имеется в виду: округление вверх, вниз или до ближайшего целого, или же просто отбрасывание дробной части числа с возможными вариантами для \(x\leqslant 0\)…

В американской математике есть два обозначения с очень чётким смыслом: \(\lfloor x\rfloor\) и \(\lceil x\rceil\). В этой записи «засечки» показывают, куда именно производится округление:\[\lfloor x\rfloor=\max\{y\in\mathbb{Z}\mid y\leqslant x\},\]\[\lceil x\rceil=\min\{y\in\mathbb{Z}\mid y\geqslant x\}.\]

Пределы

Верхние и нижние пределы последовательности в русской математике обозначаются горизонтальной чертой, проведённой над или под символом предела. Например, так:\[\overline{\lim_{n\to\infty}}(-1)^{n}=1.\]

Американские математики обозначают верхние и нижние пределы словесно: \(\limsup\) и \(\liminf\) соответственно. Приведённый выше пример будет записан так:\[\limsup_{n\to\infty}(-1)^{n}=1.\]

Векторный анализ

Русские математики для обозначения градиента, дивергенции, ротора традиционно пользуются словесными обозначениями:\[\mathrm{grad}\,f,\quad\mathrm{div}\,\mathbf{F},\quad\mathrm{rot}\,\mathbf{F}.\]

Американцы по какой-то причине не очень жалуют такую форму записи и гораздо чаще пользуются для обозначений символическим оператором Гамильтона \(\nabla\) (набла):\[\mathrm{grad}\,f=\nabla f,\]\[\mathrm{div}\,\mathbf{F}=\nabla\cdot\mathbf{F},\]\[\mathrm{rot}\,\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F}.\]

Если же американский математик всё-таки прибегнет к словесной записи, то вместо «\(\mathrm{rot}\,\mathbf{F}\)» он будет писать «\(\mathrm{curl}\,\mathbf{F}\)».