Спрямление дуги циркулем и линейкой

Наряду с двумя известнейшими «циркульно-неразрешимыми» задачами — квадратура круга и удвоение куба — несколько менее известна задача о спрямлении дуги:

Дана дуга окружности. Построить циркулем и линейкой отрезок, имеющий такую же длину.

Её неразрешимость сегодня легко обосновать: длина окружности (а равно и её дуги) связана с трансцендентным числом «пи», которое невозможно построить одними только классическими инструментами. Однако существует метод, позволяющий провести такое спрямление с любой желаемой степенью точности.

Пусть имеется дуга окружности \(AB\). Построение заключается в следующем:

  1. Построить отрезки \(OA\) и \(OB\), соединяющие концы дуги с центром окружности \(O\). Построить хорду \(AB\).
  2. Построить \(Z\) — перпендикуляр к радиусу \(OA\).
  3. Построить перпендикуляр к хорде \(AB\) и биссектрису угла \(\angle BAZ\). Точку их пересечения обозначить \(D\).
  4. Построить перпендикуляр к отрезку \(AD\) и биссектрису угла \(\angle DAZ\). Точку их пересечения обозначить \(E\).
  5. Построить перпендикуляр к отрезку \(AE\) и биссектрису угла \(\angle EAZ\). Точку их пересечения обозначить \(F\).

Этот процесс повторяется столько раз, сколько нужно, или пока позволяет точность инструментов/чертежа. Точка пересечения \(Z\) с последним построенным перпендикуляром отстоит от \(A\) на расстояние, совпадающее (в пределах точности) с длиной дуги \(AB\). На рисунке эти длины выделены зелёным цветом.

Arc2Line_thumb-25255B3-25255D

Этот способ (без обоснования) впервые встречается в итальянских трактатах по математике первой половины XVI века. С современных позиций обосновать его нетрудно, он сводится к геометрическому эквиваленту предела \[ \lim_{n\to\infty} \frac{\sin x}{ \cos\frac{x}2 \cdot \cos\frac{x}4 \cdot \cos\frac{x}8 \cdots \cos\frac{x}{2^n} } = x\]

А в качестве упражнения можно предложить поразмышлять на следующую тему: если бы точное спрямление дуги циркулем и линейкой было возможно, то возможным оказалось бы и решение задачи о квадратуре круга. Как именно?