Целые степени — циркулем и линейкой

Среди геометрических построений, о которых не рассказывают в школе, есть и такое, как нахождение целых степеней. Включая и отрицательные. Правда, у него есть и ограничение: основанием степени должно быть число, строго большее единицы. Этот способ упоминается во флорентийских трактатах XV века по строительству и когда-то широко использовался при разработке декоративных элементов.

Итак, пусть имеется некоторое число \(x>1\). Требуется найти любую его целую степень, пользуясь только циркулем и линейкой.

  1. Построить прямоугольный треугольник \(\triangle ABC\) с прямым углом \(B\), единичным катетом \(AB=1\) и гипотенузой \(AC=x\). (Для этого строится прямой угол, на одной его стороне единичным раствором от вершины делается засечка \(A\), затем от этой точки раствором \(x\) делается засечка \(C\) на другой стороне угла.)
  2. Из точки \(A\) провести лучи, служащие продолжениями катета \(AB\) и гипотенузы \(AC\).
  3. К лучу \(AC\) провести перпендикуляр через точку \(C\) до пересечения с другим лучом в точке \(D\).
  4. К лучу \(AB\) через точку \(D\) провести перпендикуляр до пересечения с другим лучом в точке \(E\).
  5. и так далее…

Длины отрезков на лучах между точкой \(A\) и получающимися точками будут равны последовательным степеням числа \(x\).

Ломаная \(BCDEFG\ldots\) может быть продолжена и в другую сторону — по направлению к точке \(A\). В этом случае длины соответствующих отрезков будут давать отрицательные степени числа. Собственно в эту последовательность степеней входит и катет \(AB\): \[ AB=1=x^0\]

Авторами построения были, конечно, не флорентийцы. В их книгах данный метод даже не обосновывался, сопровождаясь традиционной для тех времён ремаркой “с божьей помощью”. :) Да и область применения его довольно ограничена: если число значительно превосходит единицу, то один из углов треугольника становится очень острым, а это на практике неизбежно ведёт к погрешностям.

В наши дни доказать справедливость построения совсем нетрудно в рамках школьной геометрии. Действительно, прямоугольные треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\) подобны, так как имеют общий острый угол \(A\). Из их подобия следует пропорция \[ \frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB} \]

или, в других обозначениях, \[ \frac{AD}x = \frac{x}1 \]

откуда и вытекает \(AD=x^2\). Следующие степени получаются применением тех же рассуждений к другим треугольникам.