Параллельная прямая через заданную точку

Как известно, через точку, лежащую вне прямой, можно провести прямую, параллельную данной. Вопрос о том, сколько именно их можно провести — это вопрос выбора конкретной геометрии. У Эвклида на плоскости такая прямая единственна…

Речь не о том. Речь о том, как школьники и студенты воспринимают задачу построения такой прямой классическим способом — циркулем и линейкой. Бóльшая часть сначала построит через указанную точку перпендикуляр к данной прямой (этому построению в школе вроде бы учат!), а затем перпендикуляр к только что построенному перпендикуляру через ту же точку.

Это работает, но очень нерационально. Между тем существует гораздо более простой и изящный способ провести параллель к данной прямой через данную точку, и доказательство его правильности является отличной геометрической задачей.

Итак, пусть дана точка \(A\) и прямая \(BC\), не проходящая через эту точку. (Точки \(B\) и \(C\) можно выбрать на прямой произвольно.) Требуется построить прямую \(AD\), параллельную \(BC\).

parallel_thumb-25255B8-25255D

Это делается следующим образом.

  1. Провести окружность радиусом \(AB\) с центром в точке \(C\).
  2. Провести окружность радиусом \(BC\) с центром в точке \(A\).
  3. Окружности пересекутся в двух точках, одна из которых — точка \(D\) — лежит по ту же сторону от прямой, что и точка \(A\).

Прямая, соединяющая точки \(A\) и \(D\), параллельна исходной прямой \(BC\).

Comments

  1. Я бы ещё добавил что по существу мы строим паралелограм. Сам делаю несколько иначе: рисую окружность радисом АВ так, чтобы исходную прямую пересекло в двух точках, это и будет отрезком ВС — избавляет от лишних телодвижений с заданием произвольной точки С.
    При недостатке места, можно и отстроить два угла к линии пересекающей паралельные — четыре движения циркуля на два раствора, не сильно замороченее.

  2. Хм, а зачем мы меняем раствор циркуля? Ведь это сама трудная операция в этом, да и измерение циркулем не вполне точное действие (особенно если инструмент не лучшего качества). Отсюда вывод: надо строить ромб! Четыре взмаха циркулем, это быстрее трех, но с перестановкой ножек ;)

  3. Параллелограмм — да, конечно, а как же без него обоснуешь правильность этого построения? :) А строить ромбами очень любил Дюрер, в его «Наставлении к измерениям циркулем и линейкой» они иногда встречаются довольно неожиданно.

    В наши дни реальным циркулем пользоваться вообще не обязательно: берешь планшет, запускаешь симулятор циркуля-линейки (это совсем не то же самое, что динамическая геометрия), и вот тебе счастье. Всё максимально точно и красиво, потом скинул в pdf и распечатал, все дела. :)

Comments are closed