Гномон: сумма квадратов

Ещё одним применением греческого “принципа гномона” является вывод формулы для суммы квадратов натуральных чисел. Построение, которое сейчас будет изложено, принадлежит Архимеду (287-212 до н.э.). Разумеется, ему это было несколько сложнее из-за отсутствия алгебраической символики — но логика та самая.

Заполним квадратную таблицу по следующему принципу: все строки в ней будут одинаковыми, а в каждой строке слева направо записаны последовательно возрастающие натуральные числа:

Сумма чисел по одной строке образует арифметическую прогрессию, и может быть легко найдена: \[1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2\]
Соответственно, сумму чисел по всей таблице можно найти, умножив это число на количество строк. Она равна \[\frac{n^2(n+1)}{2}\]
С другой стороны, эта сумма может быть найдена суммированием не по строкам, а по гномонам. Складывая числа в \(k\)-ом гномоне (см. рисунок), получаем
\[ \bigl[ 1+2+\cdots+(k-1)\bigr]+\bigl[k+k+\cdots+k\bigr] \]
Первая квадратная скобка — это снова арифметическая прогрессия. Вторая квадратная скобка содержит ровно \(k\) слагаемых и упрощается очевидным образом. Итого, \(k\)-ый гномон содержит внутри себя \[ \frac{k(k-1)}2 +k^2 = \frac{3k^2}2 — \frac{k}2 \]

Суммируя это по \(k\) от \(1\) до \(n\) и приравнивая к общей сумме, получаем \[ \frac32\sum_{k=1}^n k^2 — \frac12\sum_{k=1}^n k = \frac{n^2(n+1)}2 \]

Второе слагаемое слева опять образует сумму геометрической прогрессии (ту же самую, что и сумма чисел по строке). Отсюда уже легко выразить сумму квадратов: \[ \sum_{k=1}^n k^2 = 1^2+2^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}6 \]

Интересна греческая интерпретация этой формулы. Тогдашние математики воспринимали её не так, как мы; в наших современных обозначениях это восприятие можно выразить следующим образом: \[ 1\times1\times1 + 2\times2\times1 + 3\times3\times1 +\cdots+ n\times n\times1 = n\times\frac{n+1}2\times\frac{2n+1}3 \]

Каждое слагаемое слева интерпретируется как объём квадратной плиты с единичной высотой и последовательно возрастающей длиной стороны. Вместе эти плиты образуют ступенчатую пирамиду. А справа стоит объём эквивалентного прямоугольного параллелепипеда:

gnomon-sq2_thumb-25255B5-25255D

Существовал и другой “вывод” формулы, через разрезание пирамиды на фрагменты и складывание их в тот самый параллелепипед. Но этот подход гораздо более замысловат.

Comments

Comments are closed